|
|
|
|
| |
| ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2020 MÔN TOÁN LỚP 12 |
|
| |
Trang 1/97
CHỦ ĐỀ 1.
Trang 2/97
CHỦ ĐỀ 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. Lý thuyết:
1. Bài toán về hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
+ Nếu f x " 0 ( ) ≥ với mọi x K∈ và f x " 0 ( ) = chỉ tại một số hữu hạn điểm x K ∈ thì hàm số
f đồng biến trên K .
+ Nếu f x " 0 ( ) ≤ với mọi x K∈ và f x " 0 ( ) = chỉ tại một số hữu hạn điểm x K∈ thì hàm số
f nghịch biến trên K .
Chú ý:
Đối với hàm phân thức hữu tỉ
ax b d
y x
cx d c
+
= ≠ −
+
thì dấu " " = khi xét dấu đạo hàm y′ không
xảy ra.
2. Bài toán về cực trị:
Quy tắc 1:
•Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f x ′( ).
•Bước 2: Tìm các điểm i
x (i = 1;2;...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số
liên tục nhưng không có đạo hàm.
•Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f x ′( ). Nếu f x ′( ) đổi dấu khi đi qua i
x
thì hàm số đạt cực trị tại i
x .
Quy tắc 2:
•Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f x ′( ).
•Bước 2: Tìm các nghiệm i
x (i = 1;2;...) của phương trình f x ′( ) = 0.
•Bước 3: Tính f x ′′( ) và tính f x ′′( i).
∗ Nếu ′′( ) < i
f x 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm i
x .
∗ Nếu ′′( ) > i
f x 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm .
i
x
3. Bài toán về Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
3.1. Định nghĩa.
Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên tập D.
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x = ( ) trên D nếu:
f x M x D
x D f x M 0 0
( ) ,
, ( )
≤ ∀ ∈
∃ ∈ =
.
Kí hiệu: max ( )
x D
M f x
∈
= .
Trang 3/97
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x = ( ) trên D nếu:
f x m x D
x D f x m 0 0
( ) ,
, ( )
≥ ∀ ∈
∃ ∈ =
.
Kí hiệu:
x D
m f x min ( )
∈
= .
3.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Bước 1: Tính f x ′( ) và tìm các điểm x x x D 1 2 , ,...,
n ∈ mà tại đó f x ′( ) = 0 hoặc hàm số không có
đạo hàm.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Bước 1:
Hàm số đã cho y f x = ( ) xác định và liên tục trên đoạn a b; .
Tìm các điểm
n
x x x 1 2 , ,..., trên khoảng (a b; ) , tại đó f x ′( ) = 0 hoặc f x ′( ) không xác định.
Bước 2: Tính f a f x f x f x f b ( ), , ,..., , . ( 1 2 ) ( ) ( n ) ( )
Bước 3: Khi đó:
( ) { ( ) ( ) ( n ) ( ) ( )} a b
max f x max f x f x f x f a f b 1 2
,
, ,..., , , .
=
( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
= n
a b
min f x min f x f x f x f a f b 1 2
,
, ,..., , , .
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Bước 1: Tính đạo hàm f x′( ).
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm i
x a b ∈( ; ) của phương trình f x′( ) 0 = và tất cả các điểm
i
α ∈( ; ) a b làm cho f x′( ) không xác định.
Bước 3. Tính
x a
A f x lim ( )
→ +
= ,
x b
B f x lim ( )
→ −
= , i
f x( ), i
f( ) α .
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận
a b
M f x
( ; )
= max ( ),
a b
m f x
( ; )
= min ( ).
Ghi chú: A, B không thể là GTLN hay GTNN được. Vậy khi so sánh mà số lớn nhất (nhỏ nhất)
rơi vào A, B, thì ta kết luận hàm số không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
• Nếu y f x = ( ) đồng biến, liên tục trên a b;
thì
( ) ( )
( ) ( )
a b
a b
f x f a
f x f b
;
;
min
max
=
=
.
Trang 4/97
•Nếu y f x = ( ) nghịch biến, liên tục trên a b;
thì
( )
( )
=
=
a b
a b
f x f b
f x f a
;
;
min ( )
.
max ( )
•Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
khoảng đó.
4. Bài toán về tiệm cận:
4.1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a b ; , ; +∞ −∞ ) ( ) hoặc
(−∞ +∞ ; )). Đường thẳng y y0
= là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm
số y f x = ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
x x
f x y f x y 0 0 lim ( ) , lim ( )
→+∞ →−∞
= =
4.2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x x = 0
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm
số y f x = ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
→ → + −
= +∞ = −∞
x x x x
f x f x
0 0
lim ( ) , lim ( ) ,
0 0
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x f x
→ → + −
= −∞ = +∞
4.3. Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng ( ) +
= ≠ − ≠
+
ax b y c ad bc
cx d
0; 0 luôn có tiệm cận
ngang là =
a
y
c
và tiệm cận đứng = −
d
x
c
.
5. Bài toán về đồ thị hàm số:
5.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
Hàm số bậc ba y ax bx cx d a = + + + ≠ ( )
3 2 0
TRƯỜNG HỢP a > 0 a < 0
Phương trình y =
/
0
có
2 nghiệm phân biệt
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
Phương trình y =
/
0
có nghiệm kép
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
Phương trình /
y = 0
vô nghiệm
x
y
1
O
1
x
y
1
O 1
Trang 5/97
Hàm số trùng phương y ax bx c a = + + ≠ ( )
4 2 0
TRƯỜNG HỢP a > 0 a < 0
Phương trình
y =
/
0 có 3 nghiệm
phân biệt
(ab<0)
x
y
O
1
1
x
y
1
O
1
Phương trình
y =
/
0 có 1 nghiệm.
x
y
1
O
1
x
y
O
1
1
Hàm số nhất biến 0, 0 ( ) ax b y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
D ad bc = − > 0 D ad bc = − < 0
6. Bài toán về tương giao đồ thị:
Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị C1
( ) và y g x = ( ) có đồ thị
2
( ) C .
Phương trình hoành độ giao điểm của C1
( ) và 2
( ) C là f x g x ( ) ( ) 1 = ( ) .
Khi đó:
• Số giao điểm của 1
( ) C và C2
( ) bằng với số nghiệm của phương
trình (1) .
• Nghiệm x0
của phương trình (1) chính là hoành độ x0
của giao điểm.
• Để tính tung độ y0
của giao điểm, ta thay hoành độ x0
vào y f x = ( ) hoặc y g x = ( ).
• Điểm M x y ( 0 0 ; ) là giao điểm của C1
( ) và C2
( ).
Trang 6/97
B. Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Hàm số
5 3 y x x = − + 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 2. Hàm số nào sau đây có cực trị?
A. 2
2
x
y
x
−
=
+
. B. 2
2
x
y
x
− +
=
+
. C. 2
2
2
x
y
x
−
=
− −
. D.
2
2 1
2
x x
y
x
+ −
=
+
.
Câu 3. Cho hàm số
4 3 y x x = − 3 4 . Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên (−∞;0). B. Hàm số nghịch biến trên (0;1) .
C. A(1; 1− ) là điểm cực tiểu của hàm số. D. Hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 4. Cho hàm số
4
1
y x
x
= +
+
. Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số nghịch biến trên (−3;1).
B. Hàm số không có cực trị.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞ −; 1) và (− +∞ 1; ).
D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞ −; 3) và (1;+∞).
Câu 5. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ :
A. 4 2 y x x = + − 2 1. B. 3 2 y x x x = + − 3 3 . C. y x x = + − sin 3 3 . D. 2
1
x
y
x
=
+
.
Câu 6. GTLN của hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
trên 1
;2
2
−
bằng
A. 10
3
. B. 2 . C. −2 . D. 11
3
Câu 7. Đồ thị hàm số
2
2
2
3 2
x x
y
x x
+ +
=
− +
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 0 .
Câu 8. Biết đồ thị ( ) 1
:
1
ax C y
bx
−
=
+
có hai đường tiệm cận cắt nhau tại I (−1;2). Khi đó tỉ số
a
b
bằng
A. 1
2
. B. 2 . C. −2 . D. −1.
Câu 9. Trên đồ thị hàm số
3
2 11 3
3 3
x
y x x
−
= + + − , cặp điểm nào đối xứng nhau qua trục Oy ?
A. 16 3;
3
,
16 3;
3
−
. B. (3; 3− ) ,(− − 3; 3) .
C. (3;3) ,(−3;3) . D. 16 3;
3
−
,
16 3;
3
−
−
.
Trang 7/97
Câu 10. Cho hàm số y f x = ( ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (−∞;3) .
B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
C. Đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
D. max 3 y =
ℝ
; min 0 y =
ℝ
.
Câu 11. Hàm số nào có đồ thị như hình dưới đây
A. 1 4 2 2 3
2
y x x = − + − B. 4 2
y x x = − + − 2 3 . C. 4 2
y x x = − − 2 3 . D. 1 4 2 3
2
y x x = − − .
Câu 12. Giá trị cực tiểu của hàm số
4 2
y x x = − + + 2 3 bằng
A. 0 . B. 3. C. 4 . D. −1.
Câu 13. Cho hàm số
5
3 2
y
x
=
−
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
B. Đường thẳng
3
2
x = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
C. Hàm số đồng biến trên 3
2
ℝ .
D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm
5
0;
3
.
Câu 14. Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên ℝ
A. 3 2
y x x x = − + − 3 . B. y x = +1 . C. 3 2
y x x x = + − + 5 3 . D. 1
2 1
x
y
x
−
=
+
.
Câu 15. Cho hàm số y f x = ( ) xác định và liên trục trên ℝ có bảng biến thiên.
A. Hàm số đồng biến trên (− ∪ +∞ 2;2 2; ) ( ). B. Hàm số đồng biến trên ℝ .
x −∞ 1 2 +∞
y′ + || − 0 +
y
+∞
3
0
−∞
O x
y
−4
−3
−1 1
x −∞ −2 2 +∞
y′ − 0 + 0 +
y
Trang 8/97
C. Hàm số nghịch biến trên ℝ . D. Hàm số nghịch biến trên (−∞ −; 2).
Câu 16. Cho hàm số y f x = ( ) có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có bốn điểm cực trị. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
C. Hàm số không có cực đại. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −5.
Câu 17. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
3 2 y x x x = − + − 5 7 3 là
A. (1;0) . B. (0;1) . C. 7 32
;
3 27
−
. D. 7 32
;
3 27
.
Câu 18. Cho hàm số
1 4 2 2 1
4
y x x = − + . Hàm số có:
A. Một cực đại và hai cực tiểu. B. Một cực tiểu và hai cực đại.
C. Một cực đại và không có cực tiểu. D. Một cực tiểu và một cực đại.
Câu 19. Hàm số
2 3
1
x
y
x
+
=
+
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 . B. 0 .
C. 2 . D. 1.
Câu 20. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm
số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. 3
y x x = − + 3 2 . B. 4 2 y x x = − +1.
C. 4 2 y x x = + +1. D. 3
y x x = − + + 3 2.
Câu 21. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
với a , b , c , d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. y′ < 0 , ∀ ≠ x 1. B. y′ < 0 , ∀ ≠ x 2 .
C. y′ > 0 , ∀ ≠ x 2 . D. y′ > 0 , ∀ ≠ x 1.
Câu 22. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm
số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. 3 2 y x x = − + 3 3 . B. 4 2 y x x = − + + 2 1.
C. 4 2 y x x = − + 2 1. D. 3 2 y x x = − + + 3 1.
Câu 23. Cho hàm số
4 2 y x x = − + 2 có đồ thị như hình bên. Tìm tất
cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
4 2 − + = x x m 2 có bốn nghiệm thực phân biệt?
x −∞ −1 2 +∞
y′ + 0 − 0 +
y
4
2 2
−5
O x
y
O
x
y
3
−1
2
3
2
−
O x
y
O x
y
−1 1
1
Trang 9/97
A. m > 0 . B. 0 1 ≤ ≤ m .
C. 0 1 < < m . D. m <1.
Câu 24. Cho hàm số ( )( )
2
y x x = − + 2 1 có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (C) cắt trục hoành tại hai điểm. B. (C) cắt trục hoành tại một điểm.
C. (C) không cắt trục hoành. D. (C) cắt trục hoành tại ba điểm.
Câu 25. Giá trị m để đồ thị hàm số
4 2 y x mx = − + 2 2 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông
là
A. m = −4 . B. m = −1. C. m = 3 . D. m =1.
Câu 26. Đồ thị hàm số
3 2 y x x ax b = − + + 3 có điểm cực tiểu là A(2; 2− ). Khi đó giá trị
2 2 a b − là
A. 0 . B. 4 . C. −4 . D. 2 .
Câu 27. Điều kiện của m để hàm số
3 2 y x mx x = + − 4 3 có 2 điểm cực trị
1
x , 2
x thoả mãn
1 2 x x = −4 là
A. 9
2
m = ± . B. 3
2
m = ± . C. m = 0 . D. 1
2
m = ± .
Câu 28. Điều kiện của m để hàm số ( ) 1 3 2 2 1 1
3
y x mx m m x = − + − + + đồng biến trên ℝ là
A. m ≤1. B. m ≥1. C. m <1. D. m ≤ 0 .
Câu 29. Khoảng nghịch biến của hàm số ( )
3 2 2 4 2 y x mx m x m m = − + − − + 3 3 1 2 có độ dài lớn nhất
là
A. 2m . B. 2 . C. 1. D. m .
Câu 30. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
tan 2
tan 2
x
y
x
+
=
−
trên
0;
4
π
. Đặt P M m = . , khi đó khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
A. P < 0 . B. 1 2 < < P . C. 2 4 < < P . D. P > 4 .
Câu 31. Có bao nhiêu giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số
3
y x x m = − + − 3 1 trên [0;3] bằng
−1?
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số.
Câu 32. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
y x x x = − + + sin cos 2 sin 2 trên ;
2 2
π π
− bằng
A. 23
27
. B. 0 . C. −1. D. 1
9
−
.
Câu 33. Giá tị lớn nhất của hàm số
3
e
x
y x −
= trên (0;+∞) bằng
A.
3
e
3
. B.
3
3
e
. C.
3
e
27
. D.
3
e
ln 3
.
Trang 10/97
Câu 34. Cho hàm số
3
y x x = − + − 3 2 có đồ thị (C) và đường thẳng y x = − − 2 .Gọi d là tiếp tuyến
của (C)tại giao điểm của (C) với đường thẳng trên với tiếp điểm có hoành độ dương.
Khi đó phương trình của d là
A. y x = + 9 18 . B. y x = − + 9 22 . C. y x = − − 9 9 . D. y x = − + 9 14 .
Câu 35. Cho hàm số
4 2
y x x = − + 2 2 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0;2) ?
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 36. Biết đồ thị
4 2
y x mx x = − + − 2 1 và đường thẳng y x m = − 2 có đúng hai điểm chung. Khi
đó phát biểu nào sau đây ĐÚNG?
A. m∈(0;1). B. 1
;
2
m
∈ −∞
. C. 1
;1
2
m
∈
. D. { } 1
; 1
2
m
∈ −∞ ∪ .
Câu 37. Đường thẳng y m = − + 2 cắt đồ thị hàm số
3
y x x = − + 3 2 tại ba điểm phân biệt khi:
A. − < < 2 2 m . B. m < −2 . C. − < ≤ 2 2 m . D. − ≤ ≤ 2 2 m .
Câu 38. Điều kiện của m để đường thẳng y x m = − + cắt ( ):
1
x
C y
x
=
−
tại hai điểm phân biệt là
A. 1 4 < < m . B. m < 0 hoặc m > 2 . C. m < 0 hoặc m > 4 . D. m <1 hoặc m > 4
Câu 39: Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
−
=
+
có bao nhiêu điểm mà tọa độ là các số nguyên?
A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 .
Câu 40. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số
3 2 y x x = − − 3 2 biết hệ số góc của tiếp tuyến tại
các điểm đó bằng 9 .
A. (1;6) ,(3;2). B. (1; 6− ) ,(− − 3; 2). C. (− − 1; 6),(− − 3; 2). D. (− − 1; 6),(3; 2− )
Câu 41.Cho hàm số y f x = ( ) có bảng biến thiên và các nhận xét như sau:
(I) Hàm số y f x = ( ) có ba điểm cực trị.
(II) Hàm số y f x = ( ) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
(III) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (2;4).
Khi đó khẳng định nào dưới đây đúng:
A. (I) và (III) đúng. B. Chỉ (III) đúng. C. (II) và (III) đúng. D. Chỉ (I) đúng.
Câu 42. Cho đồ thị hàm số y f x = ( ) có hình dạng như hình dưới:
Đồ thị nào dưới đây là đồ thị hàm số y f x = − ( )
x −∞ −1 2 4 +∞
y′ − || + 0 − || +
y
+∞
||
+∞
Trang 11/97
A. . B. . C. . D. .
Câu 43. Tìm m để hàm số
3 2 y x x m = − + + 2 3 có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;3] bằng 2019 .
A. m = 2017 . B. m = 2018. C. m = 2020 . D. m = 2019 .
Câu 44. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
3
2 2 3 2
3
x
y x mx m = − + + + − có hai cực trị nằm về
hai phía của trục tung.
A. m > 3 . B. m < 0 . C. m > 0. D. m < −3 .
Câu 45. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 1
:
2 1
x
C y
x
−
=
+
tại giao điểm của (C) với trục
hoành là `
A. 1 1
.
3 3
y x = − + B. 1 1
.
3 3
y x = − C. 1 1
.
3 3
y x = − − D. 1 1
.
3 3
y x = +
Câu 46. Cho hàm số y x x = + cos 2 . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tại
2
x
−π
= hàm số không đạt cực đại. B. Hàm số đạt cực đại tại điểm
11
12
x
− π
= .
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm
7
12
x
− π
= . D. Tại 13
2
x
π
= hàm số đạt cực tiểu.
Câu 47. Số tiệm cận của đồ thị hàm số 2
3
1
y
x
=
−
là
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3.
Câu 48. Khoảng đồng biến của hàm số
4 2
y x x = + − 2 5 là
A. (−∞; 1) . B. (−∞; 0) . C. (0;+∞). D. (− +∞ 1; ).
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
2
1
x m
y
x
+
=
−
nghịch biến trên từng khoảng
xác định của nó.
A. m ≥ 2. B. m > −2 . C. m < −2 . D. m ≤ −2 .
Câu 50. Số các điểm cực trị của hàm số ( )( )3
y x x = − + 2 3 2 1 là
A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 .
Câu 51. Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau không có điểm chung với trục hoành.
A. 2
y x x = − − 5 . B. e 1 x
y = − . C. 3
y x = −1. D. 2
3
x
y
x
=
−
.
Câu 52. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
+
là
A. 5 2 . B. 4 . C. 8 . D. 4 5 .
Trang 12/97
Câu 53. Khoảng nghịch biến của hàm số
3 2 y x x x = − − + 3 9 11 là
A. (−3;1). B. (−1;3). C. (3;+∞) . D. (−∞ −; 1).
Câu 54. Tất cả các giá trị của m để đường thẳng y m= cắt đồ thị hàm số
4
2
2 1
4
x
y x = − + tại 4
điểm phân biệt là
A. m > −3 . B. m <1. C. − < < 12 3 m . D. − < < 3 1 m .
Câu 55. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 9
3
x
y
x
+
=
+
trên
[0;3]. Khi đó M m+ bằng
A. 7
2
. B. 9
2
. C. 11
2
. D. 15
2
.
Câu 56. Hàm số ( ) 1 3 2 2 1 1
3
y x mx m m x = − + − + + đạt cực đại tại điểm x =1 khi
A. m = 2 . B. m = −1. C. m =1. D. m =1 hoặc m = 2 .
Câu 57. Hàm số
3 2
y x x = − + 3 4 đồng biến trên.
A. (0;2). B. (−∞;0) và (2;+∞) .
C. (−∞;1) và (2;+∞) . D. (0;1) .
Câu 58. Hàm số
1 4 2 3 3
2
y x x = − − nghịch biến trên các khoảng nào?
A. (−∞ −; 3) và (0; 3) B. 3
;0
2
−
và 3
;
2
+∞
.
C. ( 3;+ ∞). D. (− 3 ;0) và ( 3;+∞) .
Câu 59. Hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
nghịch biến trên các khoảng:
A. (−∞;1) và (1;+ ∞). B. (−∞ +∞ ; ). C. (− +∞ 1; ). D. (0;+∞).
Câu 60. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ .
A. 3 2 y x x x = + + + 3 3 2008 . B. 4 2 y x x = + + 2008.
C. y x = tan . D. 1
2
x
y
x
+
=
−
.
Câu 61. Tìm m để hàm số
x 1
y
x m
−
=
+
đồng biến trên khoảng (2;+∞) .
A. [− +∞ 1; ). B. (2;+∞) . C. (− +∞ 1; ). D. (−∞ −; 2).
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( )
2 2 x x m – 2 3 + = có 2 nghiệm
phân biệt.
A. m < 3 . B. m > 3 . C. m > 2 . D. m > 3 hoặc m = 2 .
Trang 13/97
Câu 63. Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C) và đường thẳng d y x m : = + . Các giá trị của tham
số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt là
A. m > 2 . B. m < 6 . C. m = 2 . D. m < 2 hoặc m > 6 .
Câu 64. Hàm số
3 2 y x x = − + 3 4 đạt cực tiểu tại điểm:
A. x = 0 . B. x = 2 . C. x = 4 . D. x = 0 và x = 2 .
Câu 65. Cho hàm số
2
4 1
1
x x
y
x
− +
=
+
. Hàm số có hai điểm cực trị là 1
x , 2
x . Tích 1 2 x x có giá trị bằng
A. −2 . B. −5 . C. −1. D. −4 .
Câu 66. Hàm số
2
y x x = − + 4 có mấy điểm cực trị?
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 67. Tìm m để hàm số ( )
3 2 y mx m x m = − − + − 10 2 đạt cực tiểu tại 0
x =1.
A. m = −2 . B. m = 5 . C. m = −2 ; m = 5 . D. m = −2 ; m = −5 .
Câu 68. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 1 3 2 2 4 3
3
y x mx m x = − + − + đạt cực đại
tại x = 3.
A. m = −1. B. m = −7 . C. m = 5 . D. m =1.
Câu 69. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
4 2 y x mx = − 2 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
A. 3
0 4 < < m . B. m <1. C. 0 1 < < m . D. m > 0 .
Câu 70. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
2 2
y x
x
= + trên đoạn
1
;2
2
.
A. 17
4
m = . B. m =10 . C. m = 5 . D. m = 3 .
Câu 71. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
4 2 y x x = − +13 trên đoạn [−2;3] .
A. 51
4
m = . B. 49
4
m = . C. m =13 . D. 51
2
m = .
Câu 72. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số
4 2 y x x = − + 2 3 trên đoạn 0; 3 .
A. M = 9 . B. M = 8 3 . C. M = 6 . D. M =1.
Câu 73. Cho hàm số
1
x m
y
x
+
=
+
( m là tham số thực) thoả mãn
[ ] 1;2 [ ] 1;2
16 min max
3
y y + = . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. 0 2 < ≤ m . B. 2 4 < ≤ m . C. m ≤ 0 . D. m > 4 .
Câu 74. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
1 2
1
x x
y
x
− −
=
+
. Khi đó
giá trị của M m− là
A. −2 . B. −1. C. 1. D. 2 .
Trang 14/97
Câu 75. Hàm số
2 2 y x x x x = − + + − 4 2 3 2 đạt giá trị lớn nhất tại 1
x , 2
x . Tích 1 2 x x bằng
A. 2 . B. 1. C. 0 . D. −1.
Câu 76. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3
y x x = − 3sin 4sin trên đoạn ;
2 2
π π
− bằng
A. −1. B. 1. C. 3 . D. 7 .
Câu 77. Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
A. 1
y
x
= . B. 2
1
1
y
x x
=
+ +
. C. 4
1
1
y
x
=
+
. D. 2
1
1
y
x
=
+
.
Câu 78. Đồ thị hàm số 2
2
4
x
y
x
−
=
−
có mấy tiệm cận.
A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 79. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
5 4
1
x x
y
x
− +
=
−
.
A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.
Câu 80. Đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
−
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 81. Cho hàm số
( )
2
4
2 1 3
1
m x
y
x
+ +
=
+
, ( m là tham số thực). Tìm m để tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số đi qua điểm A(1; 3− ) .
A. m = ±1. B. m = 0 . C. m = 2 . D. m = −2 .
Câu 82. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.
Hàm số đó là hàm số nào?
A. 3 2
y x x = − + − 3 2 . B. 3 2
y x x x = + − + 3.
C. 3 2
y x x x = − − − + 2 3. D. 3 2
y x x x = − − − + 3 .
Câu 83. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số
4 2 y ax bx c = + + với a ,
b , c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình y′ = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.
B. Phương trình y′ = 0 có đúng một nghiệm thực.
C. Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.
D. Phương trình y′ = 0 vô nghiệm trên tập số thực.
Câu 84. Hàm số ( )( )
2
y x x = − − 2 1 có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số ( )
2
y x x = − − 2 1 ?
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
3
1
O x
y
O x
y
Trang 15/97
Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
A. Hình 1. B. Hình 2 . C. Hình 3 . D. Hình 4 .
Câu 85. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) với hoành độ tiếp điểm lớn
hơn 1, cắt Ox ,Oy tại A và B sao cho ∆OAB cân. Khi đó diện tích ∆OAB bằng
A. 25 . B. 1
2
. C. 1. D. 25
2
.
Câu 86. Trên đồ thị hàm số
2 3
2
x
y
x
+
=
−
có bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến tại các điểm đó tạo với
hai trục tọa độ một tam giác cân?
A. 1. B. 2 . C. 4 . D. Vô số.
Câu 87. Cho hàm số
3 4
2
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). Gọi M là điểm tùy ý trên (C) và S là tổng
khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C). Khi đó giá trị nhỏ nhất của S là
A. 2 . B. 2 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 88. Số đường tiệm cận của hàm số
2
3
1
x
y
x
+
=
−
là
A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3.
Câu 90. Cho hàm số
mx m2 3
y
x m
− −
=
−
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
A. 5 . B. 4 . C. vô số. D. 3 .
Câu 91. Cho hàm số
1 3 2 1
3
y x mx x m = − − + + . Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có hai
điểm cực trị là A , B thỏa 2 2 2 A B x x + = .
A. m = ±1. B. m = 2 . C. m = ±3 . D. m = 0 .
Câu 92. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y m x m : (2 1) 3 = − + + vuông góc với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2 y x x = − + 3 1.
A. 3
2
m = . B. 3
4
m = . C. 1
2
m = − . D. 1
4
m = .
Câu 93. Đồ thị của hàm số
3 2 y x x = − + + 3 5 có hai điểm cực trị A và B . Tính diện tích S của
tam giác OAB với O là gốc tọa độ.
A. S = 9 . B. 10
3
S = . C. S =10 . D. S = 5.
Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y mx = − cắt đồ thị của hàm số
3 2 y x x m = − − + 3 2 tại ba điểm phân biệt A , B , C sao cho AB BC = .
A. m∈ +∞ (1; ) . B. m∈ −∞ ( ;3). C. m∈ −∞ − ( ; 1). D. m∈ −∞ +∞ ( ; ).
Trang 16/97
Câu 96. Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
f x m ( ) = có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
A. m > 4 ; m = 0 . B. 3 4 < < m .
C. 0 3 < < m . D. − < < 4 0 m .
Câu 97. Cho hàm số
1
2
mx
y
x
−
=
+
có đồ thị (Cm ) ( m là tham số). Với giá trị nào của m thì đường
thẳng y x = − 2 1 cắt đồ thị (Cm ) tại 2 điểm phân biệt A , B sao cho AB = 10 .
A. 1
2
m = − . B. 1
2
m ≠ − . C. m = 3 . D. m ≠ 3 .
Câu 98. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
Tìm m để phương trình f x m ( ) + = 0 có nhiều nghiệm thực nhất.
A. 1
15
m
m
≤ −
≥
. B.
1
15
m
m
>
< −
. C. 1
15
m
m
< −
>
. D.
1
15
m
m
≥
≤ −
.
Câu 100. Cho hàm số
4 2 3
2 4
2
y x x = − + . Giá trị thức của m để phương trình
4 2 2 3 1 2 4
2 2
x x m m − + = − + có đúng 8 nghiệm thực phân biệt là
A. 0 1 ≤ ≤ m . B. 0 1 < < m . C. 0 1 < ≤ m . D. 0 1 ≤ < m .
Câu 101. Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M x y ( 0 0 ; ) , 0
x < 0 thuộc đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
+
=
+
sao cho
khoảng cách từ I (−1;1) đến ∆ đạt giá trị lớn nhất, khi đó tích 0 0 x y. bằng
A. −2 . B. 2. C. −1. D. 0.
Câu 102. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x x x x ( ) = − + − − − − + 5 1 1 5 5 ( )( ) là
A. 7 . B. 0 . C. 3 3 2 + . D. không tồn tại.
Câu 103. Các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số
2
1
3 2
x
y
mx mx
−
=
− +
có bốn đường tiệm
cận phân biệt là
A. m > 0 . B. 9
8
m > . C. 8
9
m > . D. 8
, 1
9
m m > ≠ .
x −∞ 0 2 4 +∞
y′ − 0 + + 0 −
y
+∞
1
+∞
−∞
−15
−∞
O x
y
−4
−3
−1 1
Trang 17/97
Câu 104. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
2 1
1
+ +
=
+ −
x m
y
x m
nghịch biến trên
mỗi khoảng (−∞ −; 4) và (11;+∞) ?
A. 13. B. 12. C. 15. D. 14.
Câu 105. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số
3
y x x m = − + − 3 2 1 trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất.
Giá trị của m thuộc khoảng
A. (0;1) . B. [−1;0]. C. 2
;2
3
. D. 3
; 1
2
− − .
Câu 106. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
2
2
3 2
5
− +
=
− − +
x x
y
x mx m
không
có đường tiệm cận đứng?
A. 8 . B. 10. C. 11. D. 9 .
Câu 107. Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm ( ) ( ) ( )
2 2
f x x x x ′ = − − 1 2 , với ∀ ∈x ℝ . Số giá trị
nguyên của tham số m để hàm số ( ) ( )
3 2 g x f x x m = − + 3 có 8 điểm cực trị là
A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .
Câu 111. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi m là số nghiệm của phương trình f f x ( ( )) =1. Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A. m = 6 . B. m = 7 .
C. m = 5 . D. m = 9 .
Câu 112. Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ
bên. Hàm số ( ( ))
2
y f x = có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 3.
C. 4 . D. 6 .
Câu 113. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi m là số nghiệm của phương trình f f x ( ( )) =1. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. m = 7 . B. m = 6 .
C. m = 5 . D. m = 9 .
O x
y
2
−2
2
1
O x
y
1 3
O x
y
2
−2
2
1
Trang 18/97
ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B C C D C A B B A B C B A A D B C A B A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A C B D C A A B C B A B D C D A C D D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C B B C A B D B B A A D B D C A B A A A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A D D B B D B C B D A C D D D B A D A C
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
D D A A D B B A B A D B D B C A C C D B
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113
D A D A A B C A C B B A C
Trang 19/97
CHỦ ĐỀ 2:
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức về lũy thừa
Với a, b là những số thực dương, m và n là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:
( )
( )
( )
* 0
.
. ...a ; 1
1
.
.
+ − −
• = ∈ =
• = • = = • =
• = • =
n
n
m
n m n m n m n n m m n
n n
n n
n n n
n
a a a n N a
a
a a a a a a a
a a
a a ab a b
b b
2. Công thức liên quan đến căn bậc n
. 0 ( ) ( ) ( ) 0
n m m
n n n n
n n n m m n
n
a a a b ab b a a a a a
b b
• = • = ≠ • = • = >
Chú ý: Trong hai công thức đầu, nếu n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 2 thì a, b là số thực bất kì,
nếu n là số tự nhiên chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 thì a, b là số thực không âm.
3. Công thức về lôgarit
Với a, b và c là những số thực dương; a ≠1. Ta có:
Định nghĩa Công thức tính lôgarit Công thức đổi cơ số
( 1) b ≠
log . a
b a b α
= ⇔ = α (loga
b
có nghĩa khi
0; 1
)
0
a a
b
> ≠
>
log . log log a a a (b c b c ) = +
log log
log
log .log log
a
b
a
a b a
c
c
b
b c c
=
=
log 1 0; log 1 a a = = a
log log log
1
log log
a a a
a a
b
b c
c
c
c
= −
= −
1
log
log a
b
b
a
=
( )
log ; log a
b
a
a b aα
= =α log log a a (b b )
α
= α 1
log log
a a α b b
α
=
Lôgarit thập phân (cơ số 10):
logb hay lg b .
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số
e (e ≈ > 2,718 1) , viết tắt là ln . b
1
log log n
a a b b
n
=
1
log loga
a
b b = −
4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
• Hàm số mũ: x
y a = với a a > ≠ 0, 1. Tập xác định ℝ.Tâp giá trị
* ℝ+
Trang 20/97
Hàm số đồng biến trên ℝ khi a >1, nghịch biến trên ℝ khi 0 1. < < a
• Hàm số lôgarit: loga
y x = với a a > ≠ 0, 1. Tập xác định * ℝ+
. Tâp giá trị ℝ.
Hàm số đồng biến trên * ℝ+
khi a > 1, nghịch biến trên * ℝ+
khi 0 1. < < a
5. Phương trình và bất phương trình mũ
6. Phương trình và bất phương trình lôgarit
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 1
0 1
) log ) log log ( ) 0
( ) ( ) ( )
1 1
0 ( ) ( ) 0 ( )
) log log ) log
0 1 0 1
( ) ( ) 0 ( )
1
( )
) log
0
a b a a
b
a a a
b
b
a
a
a
a f x b b f x b g x
f x a f x g x
a a
f x g x f x a
c f x b d f x b
a a
f x g x f x a
a
f x a
e f x b
a
< ≠ < ≠
= ⇔ = ⇔ >
=
=
> >
< < < <
< ⇔ < ⇔
< < < <
> > >
>
>
> ⇔
< <1
0 ( ) b
f x a
< <
7. Công thức lãi kép
a) Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần
lãi của kì trước.
b) Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r% /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).
● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là ( ) 1
n
A r +
● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là ( ) ( ) 1 1 1 n n A r A A r + − = + −
B. LUYỆN TẬP
1. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số ( )
3 2 27
π
y x = − .
A. D 2 = ℝ { } . B. D = ℝ . C. D 3; = +∞ [ ). D. D 3; = +∞ ( ).
Lời giải. Áp dụng lý thuyết ""Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương"" .
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= < ≠ ⇔ =
= < ≠ > ⇔ =
< ⇔ < >
< ⇔ > < <
< ⇔ < > >
< ⇔ > < < >
) 0 1 ( ) ( );
0 1, 0 ( ) log
b) ( ) ( ) 1
( ) ( ) 0 1 .
c) ( ) log 1, 0
( ) log 0 1, 0 .
f x g x
f x
a
f x g x
f x g x
f x
a
f x
a
a a a a f x g x
a b a b f x b
a a f x g x neáu a hoaëc
a a f x g x neáu a
a b f x b neáu a b hoaëc
a b f x b ne áu a b
Trang 21/97
Do đó hàm số ( )
3 2 27
π
y x = − xác định khi 3
x x − > ⇔ > 27 0 3 . Chọn D.
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số ( )
3
2
y x x 2
−
= − − .
A. D . = ℝ B. D 1;2 . = − ℝ { }
C. D ; 1 2; . = −∞ − ∪ +∞ ( ) ( ) D. D 0; = +∞ ( ).
Lời giải. Áp dụng lý thuyết ""Lũy thừa với số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0"" .
Do đó hàm số đã cho xác định khi 2
1
2 0 .
2
x
x x
x
≠ −
− − ≠ ⇔
≠
Chọn B.
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số ( ) 2
y x x 1 .
π
= +
A. D 0; . = +∞ ( ) B. D 1; 0 . = − +∞ ( ) { }
C. D ; . = −∞ +∞ ( ) D. D 1; . = − +∞ ( )
Lời giải. Hàm số xác định khi ( ) 2
1
1 0 .
0
x
x x
x
> −
+ > ⇔
≠
Chọn B.
Câu 4. Rút gọn biểu thức 3 5 4 P x x = với x >0.
A.
20
21 P x = . B.
21
12 P x = . C.
20
5 P x = . D.
12
5 P x = .
Lời giải. Cách dùng MTCT. Chọn x >0 ví dụ như x =1,25 chẳng hạn.
Tính giá trị
3 5 4 1,25 1,25 rồi lưu vào A
Tiếp theo ta tính hiệu, ví dụ như đáp án A ta cần tính ( )
20
A− 1,25 21 . Nếu màn hình máy tính xuất
hiện kết quả bằng 0 thì chứng tỏ đáp án A đúng.
Đáp số chính là B. Chọn B.
Câu 5. Rút gọn biểu thức
( )
3 1 2 3
2 2 2 2
a a.
P
a
+ −
+
−
= với a>0.
A. 4
P a = . B. P a = . C. 5
P a = . D. 3
P a = .
Lời giải. Ta có
( )
( )
( )( )
( )
3 1 2 3 3 1 2 3 3 3
3 2 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
.
.
a a a a a
P a a
a
a a a a
+ − + + −
− −
+ − + −
− − −
= =
→ = = =
= = =
Chọn C.
Câu 6. Với giá trị nào của a thì đẳng thức 3 5 4 24
1
1
. . 2 .
2
a a a
−
= đúng?
A. a =1. B. a =2 . C. a =0 . D. a =3.
Lời giải. Ta có
1
1 2
1 17 3
3 4 4 24
3 5 4 24
1
5 1 17
24 5 24 2 24
1
. . . . 1
. . 2 . 2.
2
1
2 . 2 .2 2
2
a a a a a a a
a a a a
−
−
= =
→ = ⇔ =
= =
Chọn B.
Trang 22/97
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn 15 5 7 2 a a > .
A. a =0 . B. a<0. C. a>1. D. 0 1 < ⇔ > ⇔ > → >1. Chọn C.
Câu 8. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một
quý. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập
vào gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ
hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn lẫn
lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 210 triệu. B. 220 triệu. C. 212 triệu. D. 216 triệu.
Lời giải. Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là ( )
4
100 1 2% + triệu.
Số tiền nhận về sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là ( )
2
100 1 2% + triệu.
Vậy tổng số tiền là ( ) ( ) ( )
4 2 100 1 2% 100 1 2% 212,283216 212,283 + + + = ≈ triệu.Chọn C.
Câu 9. Bác An đem gửi tổng số tiền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140
triệu đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất 2,1% một quý. Số tiền còn lại bác An gửi theo kỳ hạn
một tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau
mỗi kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng kể từ
ngày gửi bác An đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của bác An.
A. 36080251 đồng. B. 36080254 đồng.
C. 36080255 đồng. D. 36080253 đồng.
Lời giải. Số tiền nhận về sau 15 tháng của 140 triệu gửi trước là ( )
5
140. 1 2,1% + triệu.
Số tiền nhận về sau 15 tháng của 180 triệu gửi sau là ( )
15 180. 1 0,73% + triệu.
Suy ra tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà bác An thu được là
( ) ( )
5 15 140. 1 2,1% 180. 1 0,73% 356,080253 + + + ≈ triệu.
Suy ra số tiền lãi: 356,080253 320 360,80253 36080253 − = = đồng. Chọn D.
Câu 10. Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức
quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau n lần quảng cáo được phát
thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức 0,015
1
( )
1 49 n
P n
e
−
=
+
. Hỏi
cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30% ?
A. 202 . B. 203. C. 206 . D. 207 .
Lời giải. Để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30%
0,015
3 1 3 ( )
10 10 1 49 n
P n
e
⇔ > ⇔ > −
+
0,015 0,015 10 1 1 49
3 21
n n
e e ⇔ + < ⇔ < − −
1
ln 1 21 0,015 ln 202,97
21 0,015
⇔ − < ⇔ > ≈ n n
−
. Vậy cần phát ít nhất 203 lần quảng cáo.
Trang 23/97
Chọn B.
Câu 11. Tập xác định của hàm số 2
y x = log bằng
A. [0;+ ∞). B. (−∞ + ∞ ; ). C. (0;+ ∞). D. [2;+ ∞).
Lời giải. Điều kiện xác định: x > 0 . Chọn C
Câu 12. Cho các mệnh đề sau:
(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương. (II). Chỉ số thực dương mới có logarit.
(III). ln ln ln (A B A B + = + ) với mọi A B > > 0, 0 . (IV) log .log .log 1 a b c b c a = , với mọi a b c , , ∈ ℝ .
Số mệnh đề đúng là:
A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .
Lời giải. Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Do đó (I) sai.
Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.
Ta có ln ln ln . A B A B + = ( ) với mọi A B > > 0, 0 . Do đó (III) sai.
Ta có log .log .log 1 a b c b c a = với mọi 0 , , 1 < ≠ a b c . Do đó (IV) sai.
Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng. Chọn A.
Câu 13. Với a là một số thực dương tùy ý, ( )
3
2
log a bằng
A. 2
3
log
2
a . B. 2
1
log
3
a . C. 2
3 log + a . D. 2
3log a .
Lời giải. Ta có : ( )
3
2 2 log 3log a a = . Chọn D
Câu 14. Tính giá trị của biểu thức ( )
3
log . P a a a = a
với 0 1. < ≠a
A.
1
3
P = . B.
3
2
P = . C.
2
3
P = . D. P =3 .
Lời giải. Ta có
1
1 3 3
2 2 3 3 log . . log log
2 2
P a a a a a a a a
= = = =
. Chọn B.
Cách trắc nghiệm: Chọn a =2 và bấm máy.
Câu 15. Cho a là số thực dương và khác 1. Tính giá trị biểu thức log .
a
P a =
A. P = −2 . B. P = 0 . C.
1
2
P = . D. P = 2 .
Lời giải. Với 0 1 < ≠a , ta có 1
2
log log 2 log 2.1 2.
a a
a
P a a a = = = = = Chọn D.
Câu 16. Cho hàm số ( ) 2
4
1
1 1 2
1
3 log 2 2 log 8 1 1 x
x
f x x
+
= + + −
với 0 1 < ≠x . Tính giá trị biểu thức
P f f = ( (2017 . ))
Trang 24/97
A. P =2016. B. P =1009. C. P =2017. D. P =1008.
Lời giải. Ta có
( ) 4 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 log log 1 log 2 log 2
1 1 1 3.
3log 2 3.log 2 log 2 log 2
2
.
8 2 2 2
x x
x x x
x x x
x
x x x x x
x
+ +
+
= = = =
= = = =
Khi đó ( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2 2
f x x x x x 2 1 1 1 1 . = + + − = + − =
Suy ra f f f f (2017 2017 2017 2017 2017. )= → = = ( ( )) ( ) Chọn C.
Câu 17. Xét các số thực a và b thỏa mãn log 3 .9 log 3 3 9 ( )
a b
= . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a b + = 2 2 . B. 4 2 1 a b + = . C. 4 1 ab = . D. 2 4 1 a b + = .
Lời giải. Ta có: log 3 .9 log 3 3 9 ( )
a b
= 3 3 2
3
log 3 log 9 log 3 ⇔ + = a b
2
2
3 3 3
log 3 log 3 log 3 ⇔ + = a b
1
2
2
⇔ + = a b ⇔ + = 2 4 1 a b . Chọn D.
Câu 18. Cho ba điểm ( ;log , ;2 log ) ( ) A b b B c c a a , ( ;3log ) C b b a
với 0 1, < ≠a b>0 , c >0 . Biết B là trọng
tâm của tam giác OAC với O là gốc tọa độ. Tính S b c = + 2 .
A. S =9. B. S = 7. C. S =11. D. S = 5.
Lời giải. Vì B là trọng tâm của tam giác OAC nên
0
3
0 log 3log 2 log
3
a a
a
b b
c
b b
c
+ +
=
+ +
=
2 3
3 2 3 2 3
4 log 6 log 2 log 3log a a a a log log a a
b b c b c b c
b c b c b c
+ = = =
⇔ ⇔ ⇔ = = =
0
2 3
27
2 3 8
2 9.
9
4
c
b
b c
S b c
b c
c
>
= =
⇔ → → = + =
=
=
Chọn A.
Câu 19. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn 2
a bc = . Tính S a b c = − − 2ln ln ln .
A. 2 ln . a
S
bc
=
B. S =1. C. 2 ln . a
S
bc
= −
D. S =0.
Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
2
S a b c a bc bc bc = − + = − = − = 2 ln ln ln ln ln ln ln 0. Chọn D.
Câu 20. Cho a b c , , là các số thực khác 0 thỏa mãn 4 25 10 a b c = = . Tính c c T
a b
= + .
A. 1
.
2
T = B. T = 10. C. T =2. D. 1
.
10
T =
Lời giải. Giả sử
4
25
10
log
4 25 10 log .
log
a b c
a t
t b t
c t
=
= = = → =
=
Ta có 10 10
10 10
4 25
log log log 4 log 25 log 4 log 25
log log log 10 log 10
t t
t t
c c t t T
a b t t
= + = + = + = +
Trang 25/97
( ) 10 10 = = = log 4.25 log 100 2. Chọn C.
Câu 21. Đặt a b = = ln 3, ln 5. Tính 3 4 5 124 ln ln ln ... ln
4 5 6 125
I = + + + + theo a và b.
A. I a b = −2 . B. I a b = +3 . C. I a b = +2 . D. I a b = −3 .
Lời giải. Ta có 3 4 5 124 3 ln . . ... ln ln3 ln125 ln3 3ln5 3 .
4 5 6 125 125
I a b
= = = − = − = −
Chọn D.
Câu 22. Cho 2
log 2 x = . Tính giá trị biểu thức 2 3
2 1 4
2
P x x x = + + log log log .
A.
11 2
.
2
P = B. P = 2 . C.
2
.
2
P = − D. P = 3 2.
Lời giải. Ta có 2 2 2 2
1 1 1 2 2 log 3log log log . 2
2 2 2 2
P x x x x = − + = − = − = − . Chọn C.
Câu 23. Cho 2
a m = log và log 8 A m = m
, với 0 1 < ≠m . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. A a a = − (3 . ) B. A a a = + (3 . ) C. 3
.
a
A
a
−
= D. 3
.
a
A
a
+
=
Lời giải. Ta có
2
3 3 3 log 8 log 8 log 3log 2 1 1 1 .
log m m m m
a
A m m
m a a
+
= = + = + = + = + = Chọn D.
Câu 24. Cho 2 3 log 5 , log 5 = = a b . Tính giá trị biểu thức
4
5
log 2
log 120
2
A = theo a và b .
A.
4
2
2
b ab a A
ab
+ +
= . B. 3b ab a A
ab
+ +
= .
C.
4
3
2
b ab a A
ab
+ +
= . D.
4
3
2
b ab a A
ab
+ +
= .
Lời giải. Ta có ( )
4
3
5 5 5 5
log 2 1 4
4
log 120 3log 2 1 log 3 log 2 .5.3
2 2
2
A
+ +
= = =
4 4
3 1 1
3
.
2 2
a b b ab a
ab
+ + + +
= = Chọn C.
Cách 2. Dùng MTCT:
Bấm máy 2
log 5 và lưu vào biến A; Bấm máy 3
log 5 và lưu vào biến B.
Giả sử với đáp án A, nếu đúng thì hiệu
4
5
log 2 4
log 120 2
2 2
b ab a
ab
+ +
− phải bằng 0.
Nhập vào màn hình
4
5
log 2 4
log 120 2B AB A
2 2AB
+ +
− với A, B là các biến đã lưu và nhấn dấu =.
Màn hình xuất hiện số khác 0. Do đó đáp án A không thỏa mãn.
Thử lần lượt và ta chọn được đáp án đúng là C.
Câu 25. Với mọi a b x , , là các số thực dương thoả mãn 2 2 2 log 5log 3log x a b = + . Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
Trang 26/97
A. x a b = + 3 5 . B. x a b = + 5 3 . C. 5 3 x a b = + . D. 5 3 x a b = .
Lời giải. Ta có 5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2 log 5log 3log log log log x a b a b a b x a b = + = + = ⇔ = .Chọn D.
Câu 26. Cho a b x y , , , là các số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. log log log ( ) a a a x y x y + = + . B. log .log log b a b a x x = .
C.
1 1 log
log a
a
x x
= . D.
log log
log
a
a
a
x x
y y
= .
Lời giải. Ta có log log log a a a x y xy + = → A sai.
log log log a a a
x
x y
y
− = → D sai.
1
log log a a
x
x
=− → C sai.
log .log log b a b a x x = → B đúng. Chọn B.
Câu 27. Cho hai số thực a và b , với 1< ⇔ >
> > ⇔ ⇔ < <
> ⇔ >
Chọn D.
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa ( )
2
1 1
2 2
log 2 log 22 m m− + ≥ ?
A.10. B. 20. C. 22. D.Vô số.
Lời giải. Ta có ( )
2 2 2
1 1
2 2
log 2 log 22 2 22 20 0 4 5 m m m m m m m − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − − ≤ − ≤ ≤ .
Từ đó suy ra có 10 giá trị nguyên m thỏa đề bài. Chọn A.
Câu 29. Tìm tập xác định D của hàm số ( )
2
2
y x x = − − log 2 3 .
A. D ; 1 3; = −∞ − ∪ +∞ ( ] [ ). B. D 1;3 = −[ ].
C. D ; 1 3; = −∞ − ∪ +∞ ( ) ( ). D. D 1;3 = −( ).
Lời giải. Hàm số xác định 2
3
2 3 0 .
1
x
x x
x
>
⇔ − − > ⇔
<−
Vậy tập xác định của hàm số là D ; 1 3; = −∞ − ∪ +∞ ( ) ( ). Chọn C.
Câu 30. Tìm tập xác định D của hàm số 5
3
log .
2
x
y
x
−
=
+
A. D 2;3 = −( ). B. D ; 2 3; = −∞ − ∪ +∞ ( ) [ ).
C. D 2 = − ℝ { } . D. D ; 2 3; = −∞ − ∪ +∞ ( ) ( ).
Trang 27/97
Lời giải. Hàm số xác định 3 2
0
2 3
x x
x x
− <−
⇔ > ⇔
+
>
. Chọn D.
Câu 31. Tìm tập xác định D của hàm số y ex = −2 ln . ( )
A. D 1;2 =( ). B. D 1; = +∞ ( ). C. D 0;1 =( ). D. D 0; =( e].
Lời giải. Hàm số xác định ( ) 2 0
0 0 0
0 .
2 ln
ex x x
x e
ex ex e x e
≥ ≤
> > >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤
− ≤
Chọn D.
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ( )
2
y x mx m = − + ln 2 có tập xác định là
ℝ .
A. m <0 ; m>1. B. 0 1 <
⇔ − + > ∀ ∈ ⇔ ⇔ < <
∆ = − <
ℝ . Chọn B.
Câu 33. Tìm tập xác định D của hàm số .
1
x
x
e
y
e
=
−
A. D 0 = ℝ { } . B. D = ℝ . C. D 1 = ℝ { } . D. D = ℝ {e} .
Lời giải. Hàm số xác định 1 0 1 0 x x ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ e e x . Chọn A.
Câu 34. Tìm tập xác định D của hàm số
2
3
2 9
.
3 4
x x
y
−
= −
A. D 0;3 =[ ] . B. D ;1 2; = −∞ ∪ +∞ ( ] [ ).
C. D 1;2 =[ ] . D. D 1;2 = −[ ] .
Lời giải. Hàm số xác định
2 2 3 3 2 2 9 2 2 2
3 2
3 4 3 3
x x x x
x x
− − −
⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ −
2 ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ x x x 3 2 0 1 2 . Chọn C.
Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số
2
2 . x
y =
A.
2
1
.2 "
ln 2
x
x
y
+
= . B.
2
1
" .2 .ln 2 x
y x + = . C. " 2 .ln 2 x x y = . D.
1
.2 "
ln2
x
x
y
+
= .
Lời giải. Áp dụng công thức ( )
/
/
. .ln u u a u a a = , ta có ( )
/ 2
/ 2 .2 .ln2 x
y x =
2 2 1
2 .2 .ln 2 .2 .ln 2 x x x x + = = . Chọn B.
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số
2
.
x
y e =
A.
2
.
2 2
x
e
y
x
′ = B. .
2
x
e
y
x
′ = C.
2
.
2
x
e
y
x
′ = D. 2
2 . . x
y x e ′ =
Lời giải. Ta có ( )
2
2 2 2
2 . . .
2 2 2
x
x x e
y x e e
x x
′
′ = = = Chọn C.
Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2
y x = + log 2 1 .
Trang 28/97
A. 2
" .
2 1
y
x
=
+
B. 1
" .
2 1
y
x
=
+
C. ( )
2
" .
2 1 ln 2
y
x
=
+
D. ( )
1
" .
2 1 ln 2
y
x
=
+
Lời giải. Áp dụng ( )/ "
log
.ln a
u
u
u a
= , ta được
( )
( ) ( )
/
2 1 2
" .
2 1 .ln 2 2 1 .ln 2
x
y
x x
+
= =
+ +
Chọn C.
Câu 38. Cho hàm số .sin − =
x
y e x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. y y y " 2 "" 2 0 + − = . B. y y y "" 2 " 2 0 + + = .
C. y y y "" 2 " 2 0 − − = . D. y y y " 2 "" 2 0 − + = .
Lời giải. Ta có " .sin .cos cos sin . ( )
x x x y e x e x e x x − − − = − + = −
Lại có "" cos sin sin cos 2 .cos ( ) ( )
− − − = − − + − − = − x x x
y e x x e x x e x
Ta thấy "" 2 " 2 2 .cos 2 cos sin 2 .sin 0 ( )
− − − + + = − + − + = x x x y y y e x e x x e x . Chọn B.
Câu 39. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số ( )
2 3x
f x e − = trên đoạn
[0;2]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. m M+ =1. B. M m e − = . C. 2
1 M m.
e
= . D.
M 2
e
m
= .
Lời giải. Hàm số f x( ) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].
Đạo hàm ( )
2 3 " 3 0, x
f x e x − = − < ∀ ∈ ℝ . Do đó hàm số f x( ) nghịch biến trên [0;2].
Suy ra
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
2
0;2
2
4 2
4
0;2
max 0
1 1
, . . 1
min 2
f x f e
m M e M m
e e f x f
e
= =
→ = = → =
= =
Chọn C.
Câu 40. Biết rằng hàm số f x x x ( )= ln đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;e] tại 0
x x = . Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A. 0
3
x 1; .
e
∈
B. 0
3
x e ; .
e
∈
C. 0
x e;2 . ∈ D. ( ] 0
x e ∈ 2; .
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;e] .
Đạo hàm ( ) ( ) ( ) / / ln 1 ln 2 " .ln . ln
2 2
x x f x x x x x
x x x
+
= + = + = .
Suy ra ( ) [ ] − = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = = ∉ 2
2
1
f x x x x e e " 0 ln 2 0 ln 2 1; .
e
Ta có ( )
( )
f 1 0
f e e
=
→
=
GTLN của hàm số bằng e , đạt tại x e = . Chọn D.
Câu 41. Tính giá trị cực tiểu CT y của hàm số .
x
y xe =
A. CT
1
y
e
= . B. CT y e = . C. CT
1
y
e
=− . D. CT y = −1.
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên ℝ.
Ta có " 1 " 0 1 0 1. ( )
x x x y e xe e x y x x = + = + → = ⇔ + = ⇔ = −
Trang 29/97
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị cực tiểu ( ) CT
1
y y 1
e
= − =− . Chọn C.
Câu 42. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (0;+∞) ?
A. 2
2
y x = log . B.
3
= loge
y x . C.
2
= loge
y x . D.
4
log = π
y x .
Lời giải. Áp dụng lý thuyết
"" Hàm số loga
y x = đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0 1 < . Chọn C.
Câu 43. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số ( )
2
3 3
x
y a a = − + đồng biến.
A. a =1. B. a =2 .
C. a ∈(1;2). D. a ∈ −∞ ∪ +∞ ( ;1 2; . ) ( )
Lời giải. Hàm số đồng biến khi 2 2 1
3 3 1 3 2 0 .
2
a
a a a a
a
<
− + > ⇔ − + > ⇔
>
Chọn D.
Câu 44. Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là
hàm số nào?
A. ( 3)
x
y = . B. 1
2
x
y
=
.
C. 5
2
2
x
y = + . D. 1
3
x
y
=
.
x
3
y
1
-1 O
Lời giải. Dựa vào hình dáng đồ thị từ trái sang phải ta thấy: x tăng nhưng y giảm. Suy ra hàm
số tương ứng của đồ thị là hàm nghịch biến. Loại A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (−1;3) nên chỉ có D thỏa mãn. Chọn D.
Câu 45. Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là
hàm số nào?
A. 2
y x = log . B. ( ) 2
y x = + log 1 .
C. 3
y x = + log 1 . D. ( ) 3
y x = + log 1 .
x
2
y
1
O
-1
+∞
0
−∞ −1
y"
y
x +∞
− 0 +
Trang 30/97
Lời giải. Dựa vào đồ thị thấy có tiệm cận đứng x =−1. Loại đáp án A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (2;1) nên chỉ có D thỏa mãn. Chọn D.
2. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 3 x
y
− = + và đường thẳng y =11.
A. (3;11). B. (−3;11). C. (4;11). D. (−4;11).
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 3 11 2 8 − − x x + = ⇔ = 3
2 2 3 3 x
x x ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − −
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (−3;11). Chọn B.
Câu 2. Nghiệm của phương trình 1
3 27 x−
= là
A. x = 4 . B. x = 3 . C. x = 2 . D. x = 1 .
Lời giải. Ta có 1 1 3 3 27 3 3 1 3 4 x x
x x
− − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = . Chọn A.
Câu 3. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2
3
2
x x 1
e
e
− = .
A. T = 3. B. T =1. C. T = 2. D. T = 0.
Lời giải. Ta có 2 2 3 3 2 2 2
2
1 1
3 2 3 2 0 .
2
x x x x
x
e e e x x x x
e x
− − −
=
= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔
=
→ = → = + = S T {1;2 1 2 3. } Chọn A.
Câu 4. Biết rằng phương trình 8 2018 log 9 3 2 0 x − = có nghiệm duy nhất 0
x x = . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. 0
x là số nguyên tố. B. 0
x là số chính phương.
C. 0
x chia hết cho 3. D. 0
x là số chẵn.
Lời giải. Phương trình 2
8
2
log 3 log 9 2018 2018 3 2 3 2 3
x
←→ = ←→ =
x
( ) 2
2 2
log 3 3
2018 2018 3
2
2 3 3 3 2018 3027
3
x x
x ←→ = ←→ = ←→ = ←→ =x . Chọn C.
Câu 5. Biết rằng phương trình
1 3
2 1 2 2 9 2 2 3
x x
x x
+ + − − = − có nghiệm duy nhất 0
x x = . Tính giá trị biểu
thức 0 9
2
1
log 2.
2
P x = +
A. P =1. B. 9
2
1
1 log 2
2
P = − . C. 9
2
P = −1 log 2 . D. 9
2
1
log 2
2
P = .
Lời giải. Ta có
1 3 3 1
2 1 2 1 2 2 2 2 9 2 2 3 9 3 2 2
x x x x
x x x x
+ + + + − − − = − ←→ + = +
9 0
2
1 4 9 9 9 9 .9 2 2.2 2.2 .9 3 2.2 log .
3 3 2 2 2 2 2
x
x x x x x x x x
⇔ + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
Khi đó
CASIO
0 9 9 9
2 2 2
1 9 1 log 2 log log 2 1.
2 2 2 2
P x = + = + = Chọn A.
Câu 6. Cho phương trình 1
4 2 3 0 x x+ + − = . Khi đặt 2
x
t = , ta được:
Trang 31/97
A. 2
t t + − =3 0. B. 2
2 3 0. t − = C. 2
t t + − = 2 3 0. D. 4 3 0. t − =
Lời giải. Ta có ( )
2
1
4 2 3 0 2 2.2 3 0. x x x x + + − = ⇔ + − =
Khi đặt 2
x
t = , thay vào phương trình ta được 2
t t + − = 2 3 0 . Chọn C.
Câu 7. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3.9 10.3 3 0. x x − + =
A. P =1. B. P = −1 . C. P = 0 . D. P = 9.
Lời giải. Phương trình 2
3.3 10.3 3 0 ⇔ − + = x x
.
Đặt 3 0. x
t = > Phương trình trở thành 2 1
3 10 3 0
3
t t t − + = ⇔ = hoặc t = 3 .
Với 1
1 1 3 1 .
3 3
x
t x x = → = ⇔ = − =
Với 2
3 3 3 1 . x
t x x = → = ⇔ = =
Vậy 1 2 P x x = = −1. Chọn B.
Câu 8. Phương trình 2 2 1
4 2 3 0 x x x x + + + + − = có bao nhiêu nghiệm không âm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Phương trình tương đương với 2 2
4 2.2 3 0 x x x x + + + − = .
Đặt 2
2
x x t
+ = , t > 0 . Phương trình trở thành ( )
2
1
2 3 0
3
t
t t
t
=
+ − = ⇔
= −
loaïi
.
Với t = 1 , ta được
2
2
0
2 1 0
1
x x
x
x x
x
+
=
= ⇔ + = ⇔
= −
.
Vậy chỉ có duy nhất nghiệm x = 0 là nghiệm không âm. Chọn B.
Câu 9. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 2
1
tan cos 4 2 3 0 x + − = x
trên đoạn [0;3 . π]
A. T = π. B. 3
.
2
T
π
= C. T = 6 . π D. T = 0.
Lời giải. Điều kiện: [ ]
cos 0 3 5
; ; .
0;3 2 2 2
x
x
x
π π π
π
≠
⇔ ≠
∈
Ta có ( )
2 2 2 2
1
2
tan cos tan tan 1 4 2 3 0 2 2 3 0 x x x x + + − = ⇔ + − =
( ) ( )
2
2 2 2
2
tan 2
tan tan tan 2
tan
2 1
2 2.2 3 0 2 1 tan 0 , .
2 3
x
x x x
x
x x k k π
=
⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
= −
ℤ
loaïi
Vì 0 3 0; ; 2 ; 3 6 . ≤ ≤ → = → = x x T π π π π π { } (thoûa maõn) Chọn C.
Câu 10. Tính P là tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình 1 2 2 2 3. x x − − + =
A. P =1. B. P = 3. C. P = 5. D. P = 9.
Lời giải. Ta có 1 2 1 4 2 2 3 .2 3
2 2
x x x
x
− − + = ⇔ + = .
Trang 32/97
Đặt 2 , 0 x
t t = > . Phương trình trở thành 2 1 4 2
. 3 6 8 0
2 4
t
t t t
t t
=
+ = ⇔ − + = ⇔
=
1 2 2
1 2
2
2 2 1
5.
2 4 2
x
x
x x
P x x
x x
= = = → ⇔ → = + =
=
= =
Chọn C.
Câu 11. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 2 1 1 5 5 24 + − x x − = . Tập S có bao nhiêu phần tử?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải. Phương trình 2
2
5
5.5 24 0.
5
x ⇔ − − = x
Đặt 2
5 , 1. x
t t = ≥ Phương trình trở thành 5 2
5. 24 0 5 24 5 0 t t t
t
⇔ − − = ⇔ − − =
( ) { } 2
2
5
1 5 5 5 1 1 1;1 .
5
x
t
t x x S
t
=
⇔ ⇔ = → = ⇔ = ⇔ = ± → = −
= −
loaïi
Chọn C.
Câu 12. Gọi 1 2 x x , lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình
2 2 1 1 2 2 2 2 2 x x x x x + − − − = − . Tính 1 2 S x x = + .
A. S = 0. B. S =1. C. 1
.
2
S = D. 5
.
2
S =
Lời giải. Phương trình ( ) ( ) ( )( )
2 2
1 1
2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0 ⇔ − = − ⇔ − − = x x x x x x x − −
2
1 1 2 2 2
0
2 1 0 2 1 0 0
. 1 5 2 2 0 2 2 1 1 0
2
x x
x x x x
x
x x
x x x x x
− −
= − = = = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
±
− = = − = − − = =
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x ≥ là
A. (10;+ ∞) . B. (0;+ ∞) . C. [10;+ ∞) . D. (−∞;10) .
Lời giải. Ta có: log 1 log log10 10 x x x ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình log 1 x ≥ là [10;+ ∞) . Chọn C
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn
2
9 1
tan tan .
7 7
x x x
π π
− − − ≤
A. x ≤−2. B. x ≥ 4.
C. − ≤ ≤ 2 4. x D. x ≤−2 ; x ≥ 4.
Lời giải. Do tan 1
7
π
< nên bất phương trình 2 ⇔ − − ≥ − x x x 9 1
2
4
2 8 0 .
2
x
x x
x
≥ ⇔ − − ≥ ⇔
≤−
Chọn D
Câu 15. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình
( )
2 2
1
8 .2 2
x
x x − > ?
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Trang 33/97
Lời giải. Bất phương trình ( )
2 2 2 2 1 3 1 3 1 8 .2 2 2 .2 2 2 2
x
x x x x x x x x − − + − > ⇔ > ⇔ >
2 2 ⇔ + − > ⇔ − − < ⇔ − < < + 3 1 2 1 0 1 2 1 2 x x x x x x .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = − + (1 2;1 2).
Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là {1;2 . } Chọn A.
Câu 16. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình ( )
2
1
3 2. 3 7
x
−x + ≤ . Khi đó S có dạng [a b; ] với
a b < . Tính 2 P b a = + .log 3.
A. P = 2. B. P =1. C. P = 0. D. 2 P = 2 log 3.
Lời giải. Bất phương trình 3 2
2.3 7 2.3 7.3 3 0.
3
x x x ⇔ + ≤ ⇔ − + ≤ x
Đặt 3
x
t = , t > 0 . Bất phương trình trở thành 2 1
2 7 3 0 3
2
t t t − + ≤ ⇔ ≤ ≤ .
3
3 2
1 log 2
3 3 log 2 1 .log 3 0.
2 1
x
a
x P b a
b
= − → ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ → → = + =
=
Chọn C.
Câu 17. Gọi a b , lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của bất phương trình
3.9 10.3 3 0 x x − + ≤ . Tính P b a = − .
A. P =1. B.
3
2
P = . C. P = 2 . D.
5
2
P = .
Lời giải. Bất phương trình tương đương với 2
3.3 10.3 3 0 x x − + ≤ .
Đặt 3
x
t = , t > 0 . Bất phương trình trở thành 2 1
3 10 3 0 3
3
t t t − + ≤ ⇔ ≤ ≤ .
1 1
3 3 1 1 2.
3 1
x
a
x P b a
b
= − → ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ → → = − =
=
Chọn C.
Câu 18. Phương trình ( ) 2 4 3 log 3 2log 3.log 2 x x − + = có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải. Điều kiện:
3 0
3.
0
x
x
x
− >
⇔ >
>
Phương trình ( ) ( ) 2 4 2 2 ⇔ − + = ⇔ − + = log 3 2 log 2 log 3 log 2 x x x x
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
1
log 3 2 3 2 3 4 0 .
4
x
x x x x x x
x
= − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔
=
loaïi
thoaû maõn
Chọn A.
Câu 19. Biết rằng phương trình 2 log 2 log 4 log 4 log 3 (x x + + = + ) có hai nghiệm phân biệt
( ) 1 2 1 2 x x x x , < . Tính 1
2
.
x
P
x
=
A. P = 4. B.
1
.
4
P = C. P = 64. D.
1
.
64
P =
Lời giải. Điều kiện: x > 0.
Trang 34/97
Phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2
log 2 log 4 log log 81 log 4 2 log 81 x x x x ⇔ + + = + ⇔ + =
( ) ( )
( )
2 2 1 1
2
2
1
1 1 4 2 81 4 65 16 0 4 .
4.16 64 16
x x x
x x x x P
x
x x
= =
⇔ + = ⇔ − + = ⇔ → = = =
= =
thoûa maõn
thoûa maõn
Câu 20. Số nghiệm của phương trình ( ) ( ) 4 2 2 4 log log log log 2 x x + = là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. Nhiều hơn 2 .
Lời giải. Điều kiện: 2
4
0
log 0 1
log 0
x
x x
x
>
> ⇔ >
>
.
Phương trình ( ) 2 2 2 2
1 1 log log log log 2
2 2
x x
⇔ + =
2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 log log log log log 2
2 2
⇔ + + = x x
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 log log 1 log log 2 log log 3 log log 2
2 2
⇔ − + = ⇔ = ⇔ = x x x x
( ) 2 ⇔ = ⇔ = log 4 16 . x x thoûa maõn Vậy phương trình có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 21. Biết rằng phương trình ( )
1
3 1
3
log 3 1 2 log 2 x
x
+ − = + có hai nghiệm 1
x và 2
x . Hãy tính tổng
1 2 27 27 . x x S = +
A. S =180. B. S = 45. C. S = 9. D. S = 252.
Lời giải. Điều kiện: 1
3 1 0 1. x
x
+ − > ⇔ >−
Phương trình ( ) ( )
1 1
3 3 3 3 log 3 1 2 log 2 log 3 1 log 2 2 x x
x x ⇔ − = − ⇔ − + = + +
( ) ( )
1 1 2 2
3
log 3 1 .2 2 3 1 .2 3 6.3 2 3 x x x x x x ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = + +
1 2
1 2
2 Viet 3 3 6
3 6.3 2 0 .
3 .3 2
x x
x x
x x
+ =
⇔ − + = →
=
Ta có ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
3
3
27 27 3 3 3.3 .3 3 3 6 3.2.6 180. x x x x x x x x S = + = + − + = − = Chọn A.
Câu 22. Gọi ( ) 0 0 M x y; là điểm thuộc đồ thị hàm số 3
y x = log . Tìm điều kiện của 0
x để điểm M
nằm phía trên đường thẳng y = 2 .
A. 0
x > 0 . B. 0
x > 9 . C. 0
x > 2 . D. 0
x < 2 .
Lời giải. Đồ thị 3
y x = log nằm ở phía trên đường thẳng y = 2 khi 3
log 2 9 x x > ⇔ > .Chọn B.
Câu 23. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ( ) ( )
2 2 log 2 log 2 3 a a x x x x − − > − + + , biết 9
4
thuộc S.
A. 5
2;
2
S
=
. B. 5
1;
2
S
= −
. C. S = −∞ − ( ; 1). D. 5
;
2
S
= +∞
.
Trang 35/97
Lời giải. Điều kiện:
2
2
2 0
2 3
2 3 0 .
0 1
0 1
x x
x
x x
a
a
− − >
< <
− + + > ⇔
< ≠
< ≠
Do 9
4
x = là nghiệm của bất phương trình đã cho nên 13 39 log log 0 1.
16 16 a a > → < −
A. S = +∞ (2; ) . B. S = +∞ (1; ). C. S = ℝ 2{ } . D. S = +∞ (1; 2 . ) { }
Lời giải. Điều kiện:
4 4 0
1.
0
x
x
x
− >
⇔ >
≠
Bất phương trình ( )
2 2 2 ⇔ > − ⇔ − + > ⇔ − > ⇔ ≠ x x x x x x 4 4 4 4 0 2 0 2 .
Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm của bpt là S = +∞ (1; 2 ) { } . Chọn D.
Câu 25. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình ( ) ( )
2
0,3 0,3 log 4 log 12 5 . x x ≥ − Kí hiệu m M, lần lượt
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tập S . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. m M+ = 3. B. m M+ = 2 . C. M m− = 3. D. M m− =1.
Lời giải. Điều kiện:
5
.
12
x ≥
Bất phương trình ( ) 2 2 1 5 4 12 5 4 12 5 0 .
2 2
⇔ ≤ − ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ x x x x x thoûa maõn
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 1 5
;
2 2
S
=
.
Suy ra 1
2
m = và 5
2
M = nên m M+ = 3. Chọn A.
Câu 26. Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn bất phương trình log 40 log 60 2 (x x − + − < ) ( ) ?
A. 20. B. 18. C. 21. D. 19.
Lời giải. Điều kiện: 40 60 < ⇔ − > ⇔ ≠ x x x x x x 40 60 10 100 2500 0 50 0 50.
Kết hợp với điều kiện, ta được { } { } 40 60
41;...;59 50
50
x
x
x
x
+ ∈
< <
→ ∈
≠
ℤ
. Chọn B.
Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 1 2 2 0 x m m
− + − = có nghiệm.
A. m < 0 . B. 0 1 < < m . C. m < 0 ; m >1 . D. m >1 .
Lời giải. Ta có 2 1 2 2 1 2 2 0 2 . x x m m m m
− − + − = ⇔ = − +
Vì 2 1 x − có miền giá trị là ℝ nên 2 1 2
x−
có miền giá trị là (0;+∞), do đó phương trình có
nghiệm 2 ⇔ − + > ⇔ < < m m m 0 0 1. Chọn B.
Trang 36/97
Chúy ý: Cần phải nói rõ 2 1 x − có miền giá trị là ℝ thì mới kết luận được 2 1 2
x
y
− = có miền giá trị
là (0;+∞). Sai lầm hay gặp là phương trình x
a m = có nghiệm ⇔ > m 0 thì đúng, còn phương trình
u
a m = có nghiệm ⇔ > m 0 nói chung không đúng. Ví dụ như hàm số
2
1
2
x
y
+ = có miền giá trị là
[2; . +∞)
Câu 28. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 1
9 2.3 0 x x m
+ − + = có hai nghiệm thực
1 2 x x , thỏa mãn 1 2 x x + =1.
A. m = 6. B. m = −3. C. m = 3. D. m =1.
Lời giải. Ta có 1 2 9 2.3 0 3 6.3 0. x x x x m m
+ − + = ⇔ − + =
Đặt 3 0 x
t = > , phương trình trở thành 2
t t m − + = 6 0 . (*)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm dương
" 0 9 0
0 6 0 0 9.
0 0
m
S m
P m
∆ ≥ − ≥
⇔ > ⇔ > ⇔ < ≤
> >
Theo định lí Viet, ta có 1 2 1 2 3 .3 3 3 . x x x x m m m
+ = ⇔ = ⇔ = (thỏa). Chọn C.
Cách trắc nghiệm. Thử lần lượt 4 đáp án để chọn.
Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2
2 2 log 2 log 3 2 0 x x m − + − < có
nghiệm thực.
A. m <1. B. m ≤1. C. m < 0. D. 2
.
3
m <
Lời giải. Điều kiện: x > 0 . Đặt 2
t x = log , với x > 0 suy ra t ∈ −∞ +∞ ( ; ).
Bất phương trình đã cho trở thành ( )
2 2
t t m m t t − + − < ⇔ <− + + ∗ 2 3 2 0 3 2 2 .
Ycbt ⇔ phương trình (∗) có nghiệm
( )
( )
;
3 max m g t
−∞ +∞
⇔ < với ( )
2
g t t t = − + + 2 2 .
Ta có ( ) ( )
2 2
g t t t t t = − + + = − − ≤ ∀ ∈ 2 2 3 1 3, ℝ . Suy ra
( )
( )
;
max 3 g t
−∞ +∞
= .
Từ đó suy ra 3 3 1 m m < ⇔ < thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Câu 30. Tính giá trị thực của tham số m để phương trình 2
3 3 log log 2 7 0 x m x m − + − = có hai nghiệm
1 2 x x , thỏa mãn 1 2 x x = 81.
A. m = 81. B. m = 44. C. m = −4. D. m = 4.
Trang 37/97
CHỦ ĐỀ 3:
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số f x( ) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay
nửa khoảng). Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x f x "( ) = ( )
với mọi x K ∈ .
2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản
Hàm cơ bản Hàm hợp
= +
dx x C
= +
2
dx x C
x
= + +
+
dx 2
ax b C
ax b a
( )
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
1
, 1
1
x
x dx C
α
α
α
+
+
+ = +
+
1
1 ( ) ( ) .
1
ax b ax b dx C
a
= +
1
dx x C ln
x
= + +
+
1 1 dx ax b C ln
ax b a
= +
x x e dx e C + + = +
ax b ax b 1
e dx e C
a
= + < ≠ ( )
, 0 1
ln
x
x a
a dx C a
a
( )
+
+
= + < ≠
, 0 1
ln
mx n
mx n a
a dx C a
m a
= − +
sin cos xdx x C + = − + +
1
sin( ) cos( ) ax b dx ax b C
a
= +
cos sin xdx x C + = + +
1
cos( ) sin( ) ax b dx ax b C
a
= + 2
1
tan
cos
dx x C
x
= + +
+
2
1 1 tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
= − + 2
1
t
s
dx co x C
in x
= − + +
+
2
1 1 t( )
sin ( )
dx co ax b C
ax b a
3. Phương pháp tính nguyên hàm
3.1. Phương pháp đổi biến số
Nếu f u u F u C ( ) d = + ( )
và u u x = ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f u x u x x F u x C ( ( )) ′( ) d = + ( ( ))
Trang 38/97
Hệ quả: Nếu u ax b a = + ≠ ( 0) thì ta có ( ) ( ) 1
f ax b x F ax b C d
a
+ = + +
3.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x = ( ) và v v x = ( ) có đạo hàm liên tục trên K thì
u x v x x u x v x u x v x x ( ) ′ ′ ( ) d d = − ( ) ( ) ( ) ( ) Hay u v uv v u d d = −
4. Tích phân
4.1. Định nghĩa ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a = = −
.
4.2. Tính chất của tích phân
a. ( )d 0
a
a
f x x =
d. ( )d ( )d
b a
a b
f x x f x x = −
b. ( )d ( )d ( )d
c b c
a a b
f x x f x x f x x = + ( a b c < < ) e. . ( )d . ( )d ( )
b b
a a
k f x x k f x x k = ∈ℝ
c. [ ] ( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x ± = ± .
5. Ứng dụng của tích phân
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn [a b; ],
trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b = :
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) 1 1 y f x C = ( ) , ( ) 2 2 y f x C = ( ) liên
tục trên đoạn [a b; ] và hai đường thẳng x a = , x b = :
B. LUYỆN TẬP
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
=
=
=
=
1 1
2 2
( ) : ( )
( ) : ( )
( )
C y f x
C y f x
H
x a
x b
1
( ) C
2
( ) C
1 2 ( ) ( ) d
b
a
S f x f x x = − a 1
c
y
O b
x
2
c
=
=
=
=
( )
( )
y f x
y 0
H
x a
x b a 1
c
2
c
y f x = ( )
y
O x 3
c b
( ) d
b
a
S f x x =
Trang 39/97
A. Nếu F x( ) là một nguyên hàm bất kỳ của f x( ) trên (a b; ) thì ∫
f x x F x C ( )d = + ( ) với C là
hằng số.
B. Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a b; ) đều có nguyên hàm trên khoảng (a b; ).
C. F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ( ) ( ) ( ) ( )
/
a b f x F x x a b ; , ; ⇔ = ∀ ∈ .
D. ( ( ) ) ( )
/
∫
f x x f x d = .
Lời giải. Chọn C. Sửa lại cho đúng là:
"" F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên (a b; ) ( ) ( ) ( )
/ ⇔ = ∀ ∈ F x f x x a b , ; "".
Câu 2. Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng K nếu
A. F x f x x K ′( ) = − ∀ ∈ ( ), . B. f x F x x K ′( ) = ∀ ∈ ( ), .
C. F x f x x K ′( ) = ∀ ∈ ( ), . D. f x F x x K ′( ) = − ∀ ∈ ( ), .
Lời giải. Theo lý thuyết nguyên hàm: Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên
khoảng K khi và chỉ khi F x f x x K ′( ) = ∀ ∈ ( ), . Chọn C.
Câu 3. Tìm hàm số F x( ) biết ( )
2 F x x x " 3 2 1 = + + và đồ thị hàm số y F x = ( ) cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng e .
A. ( )
2 F x x x e = + + . B. F x x e ( ) = + − cos 2 1.
C. ( )
3 2 F x x x x = + + +1. D. ( )
3 2 F x x x x e = + + + .
Lời giải. Ta có ( ) ( )
2 3 2 F x x x x x x x C = + + = + + + 3 2 1 d .
Đồ thị y F x = ( ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e nên ta có F e C e (0 . ) = ⇔ =
Vậy ( )
3 2 F x x x x e = + + + . Chọn D.
Câu 4. Biết rằng ( ) ( ) ( )
3 2 F x ax a b x a b c x = + + + − + + 2 1 là một nguyên hàm của
( )
2
f x x x = + + 3 6 2. Tính tổng S a b c = + + .
A. S = 5. B. S = 4. C. S = 3. D. S = 2.
Lời giải. Ta có ( )
2 3 2 3 6 2 d 3 2 x x x x x x C + + = + + +
.
Suy ra ( )
3 2 F x x x x = + + + 3 2 1.
Đồng nhất ta được
1 1
3 2 5
2 2 2
a a
a b b a b c
a b c c
= = + = ⇔ = → + + =
− + = =
. Chọn A.
Câu 5. Biết F x( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) 3
2
1
f x x x 4 3
x
= − + và thỏa mãn 5 1 2 43 F F ( ) + = ( ) .
Tính F (2 .)
A. ( ) 151 2 .
4
F = B. F (2 23. ) = C. ( ) 45 2 .
2
F = D. ( ) 86 2 .
7
F =
Trang 40/97
Lời giải. Ta có ( ) 3 4 2
2
1 1 3 4 3 d .
2
F x x x x x x C
x x
= − + = + + +
Theo giả thiết ( ) ( ) 7 45 1 5 1 2 43 5 43 .
2 2 2
F F C C C
+ = → + + + = ⇔ =
Suy ra ( ) ( ) 4 2 4 2 1 3 1 1 3 1 2 2 .2 23.
2 2 2 2 2
F x x x F
x
= + + + → = + + + = Chọn B.
Câu 6. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x g x ( ). ( ), biết ∫
f x x x C ( )d = + , ( )
2
d
4
x
∫
g x x C = +
và F (2 5 )= .
A. ( )
2
4.
4
x
F x = + B. ( )
2
5.
4
x
F x = +
C. ( )
3
5.
4
x
F x = + D. ( )
3
3.
4
x
F x = +
Lời giải. Ta có ∫
f x x x C f x ( )d 1 = + → = ( ) và ( ) ( )
2
1
d .
4 2
x
∫
g x x C g x x = + → =
Khi đó ( ) ( ) 1 1 2
. d d .
2 4 ∫ ∫ f x g x x x x x C = = +
Theo giả thiết ( ) 1 2
2 5 .2 5 4.
4
F C C = → + = ⇔ =
Suy ra ( )
2
4.
4
x
F x = + Chọn A.
Câu 7. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( )
3 1 x
f x e + = và thỏa ( ) 0
3
e
F = ⋅ Tính ( )
3
ln 3 1 . F
A. ( )
3
ln 3 1 64. F = B. ( )
3
ln 3 1 8. F = −
C. ( )
3
ln 3 1 81. F = D. ( )
3
ln 3 1 27. F =
Lời giải. Ta có 3 1 3 1 1
d .
3
x x e x e C + + ∫ = + .
Theo giả thiết ( ) 0 0.
3 3 3
e e e F C C = → + = ⇔ =
Suy ra ( ) ( ) 3 3 3 4 1 1
ln 3 1 1
3
ln 3. 64.
3
x
F x e F e +
= =
= → Chọn A.
Câu 8. Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x x ( ) = tan 2 thỏa mãn F (0 0. ) = Tính
6 2 2 .
F F
T e e
π π = −
A. T =1. B. T = 2. C. T = − 2. D. T = 0.
Lời giải. Ta có sin 2 tan 2 d d .
cos 2
x
x x x
x
=
Đặt 1
cos 2 d 2sin 2 d sin 2 d d .
2
t x t x x x x t = → = − → = −
Khi đó sin 2 1 d 1 1 tan 2 d d .ln ln cos 2 .
cos 2 2 2 2
x t x x x t C x C
x t
= = − = − + = − +
Theo giả thiết F C (0 0 0. ) = → =
Trang 41/97
Suy ra ( ) 1
ln cos 2 0
2 2
F x x F π
= − → =
và ( ) 1 1 ln ln 2
6 2 2
F
π
= − =
.
Vậy ln 2 0 T e e = − = − = 2. 2 1 1. Chọn A.
Câu 9. Nếu
1
0
f x dx ( ) 4 =
thì
1
0
2 ( ) f x dx
bằng
A. 16. B. 4. C. 2. D. 8.
Lời giải.
1 1
0 0
2 ( ) 2 ( ) 2.4 8 f x dx f x dx = = = . Chọn D.
Câu 10. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục, có đạo hàm trên ℝ , thỏa mãn ( ) ( )
3
0
3 2 " 12 x f x dx + =
và
11 3 2 0 6 f f ( ) − = ( ) . Tính ( )
3
0
I f x dx =
.
A. I = −2. B. I = 6. C. I = 2. D. I = −6.
Lời giải: đặt u x dv f x dx = + = 3 2, "( ) Chọn A
Câu 11: Cho hàm số f x( ) liên tục trên ℝ , thỏa mãn ( ) ( ) ( )
2
f x x f x x + + = 1 . " 3 và f (1 3 ) = . Tính
f (3).
A. f (3 8. ) = B. f (3 28. ) = C. f (3 9. ) = D. f (3 3. ) =
Lời giải: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 3
1 3
1 3
5 3 8
x f x x
x f x x dx x C
Do gt C f
′
+ =
+ = = +
= =
Chọn A
Câu 12. Cho ( ) 3
1
3
F x
x
= − là một nguyên hàm của hàm số
f x( )
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
f x x " ln ( ) .
A. ( ) 3 5
ln 1 " ln d .
5
x
f x x x C
x x
= + + B. 3 5
ln 1 "( )ln d .
5
x
f x x x C
x x
= − +
C. ( ) 3 3
ln 1 " ln d .
3
x
f x x x C
x x
= + + D. ( ) 3 3
ln 1 " ln d .
3
x
f x x x C
x x
= − + +
Lời giải. Ta có ( ) ( )
( )
2
6 4 3
1 3 1 1 " . .
3
x f x
F x f x
x x x x
= = = → =
Xét f x x x " ln d . ( ) Đặt ( ) ( )
1
ln d d
.
" d
u x u x
x
dv f x x v f x
= =
⇔
= =
Khi đó ( ) ( ) ( )
3 3
ln 1 " ln d ln . d .
3
f x x
f x x x x f x x C
x x x
= − = + + Chọn C.
Trang 42/97
Câu 13. Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) .
x
f x x e−
= thỏa mãn điều kiện F (0 1. ) = −
Tính tổng S các nghiệm của phương trình F x x ( ) + + =1 0.
A. S = −3. B. S = 0. C. S = 2. D. S = −1.
Lời giải. Ta có . dx
x e x
−
∫ . Đặt
d d
.
d
x x
u x u x
dv e x v e − −
= =
⇒
= = −
Khi đó d d . x x x x x
xe x xe e x xe e C − − − − − ∫ ∫ = − + =− − +
Theo giả thiết F C (0 1 )= − →− + = − ⇔ = 1 1 0. C
Suy ra ( ) ( 1)
x x x F x xe e e x − − = − − = − + .
Xét phương trình ( ) 1 0 1 1 0 ( )
x
F x x e x x + + = ⇔ − + + + =
( )( ) 1
1 1 0 1 0 1.
0
x
x
x e S
x
= − ⇔ + − + = ⇔ → = − + = −
=
Chọn D.
Câu 14. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x x x ( ) = sin và thỏa mãn F (π = π ) 2 . Tính
giá trị của biểu thức T F F = − π 2 0 8 2 . ( ) ( )
A. T = π6 . B. T = π4 . C. T = π8 . D. T = π 10 .
Lời giải. Ta có x x sin dx
. Đặt
d d
.
d sin d cos
u x u x
v x x v x
= =
= = −
Khi đó x x x x x x x x x x C sin d cos cos d cos sin . = − + = − + +
Theo giả thiết F C C (π π ⇔ ) = 2π →π + = 2 . = π
Suy ra ( ) ( )
( )
2 8. 10 . ( )
0
cos sin
2
F
F x x x x
F
T
= π
= − + + π → →
π
= π − −π
= −π
= π Chọn D.
Câu 15. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )
6
0
f x xd 4 =
và ( )
6
2
f x t d 3 = −
.
Tính tích phân ( )
2
0
I f v v = − 3 d .
A. I =1. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 3.
Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0
0 0 0
I f v v f v v v f v v = − = − = − 3 d d 3 d 6.
Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 6 6 6 6
0 0 2 2 0 2
f v v f v v f v v f v v f v v f v v d d d d d d = + − = −
( ) ( ) ( )
6 6
0 2
= − = − − = f x x f x x d d 4 3 7.
Vậy I = − = 7 6 1. Chọn A.
Câu 16. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;3] và thỏa mãn f (1 1 ) = , f m (3 . ) =
Tìm tham số thực m để ( )
3
1
f x x ′ d 5. =
A. m = 6. B. m = 5. C. m = 4. D. m = −4.
Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
1
1
f x x f x f f ′ d 3 1 . = = −
Trang 43/97
Theo giả thiết ( ) ( ) ( )
3
1
f x x f f m m ′ d 5 3 1 5 1 5 6. = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Chọn A.
Câu 17. Cho hàm số ( ) ( )
0
cos d .
x
g x t x t t = −
Tính "
2
g
π
.
A. " 1.
2
g
π
= −
B. " 1.
2
g
π
=
C. " 0.
2
g
π
=
D. " 2.
2
g
π
=
Lời giải. Đặt ( ) ( )
d d
.
d cos d sin
u t u t
v x t t v x t
= =
→
= − = − −
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
sin sin d sin cos 1 cos .
x x x x
g x t x t x t t t x t x t x = − − + − = − − + − = −
Suy ra " sin " sin 1. ( )
2 2
g x x g
π π
= → = =
Chọn B.
Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số ( ) ( ) 2
1
d
x
F x t t t = +
trên đoạn [−1;1].
A.
1
.
6
m = B. m = 2. C.
5
.
6
m = − D.
5
.
6
m =
Lời giải. Ta có ( ) ( )
3 2 3 2
2
1 1
5
d .
3 2 3 2 6
x
x
t t x x F x t t t
= + = + = + −
Xét hàm số ( )
3 2 5
3 2 6
x x F x = + − trên đoạn [−1;1].
Đạo hàm ( ) ( ) [ ]
[ ]
2
0 1;1
" " 0 .
1 1;1
x
F x x x F x
x
= ∈ −
= + → = ⇔
= − ∈ −
Ta có
( )
( )
( )
[ ]
( ) ( )
1;1
2
1
3
5 5 0 min 0 .
6 6
1 0
F
F F x F
F
−
− = −
= − → = = −
=
Chọn C.
Câu 19. Cho hàm số f x A x B ( ) = π + sin ( ) ( A B, thuộc ℝ ) thỏa mãn ( )
2
0
f x xd 4 =
và f " 1 2 ( ) = .
Tính giá trị biểu thức P A B = π + .
A. P = 4. B. P = 0. C. P = −2. D. P = −4.
Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
d sin d cos 2 A
f x x A x B x x Bx B
= π + = − π + = π
.
Suy ra 2 4 2 B B = ⇔ = .
Lại có ( ) ( ) ( ) 2
f x A x f A A " cos " 1 2 cos 2 . = π π → = ⇔ π π = ⇔ = −
π
Vậy
2
A B P A B = − = → = π + = ; 2 0.
π
Chọn B.
Câu 20. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t t ( ) = − + 5 10 m/s ( ), trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển
bao nhiêu mét?
Trang 44/97
A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D. 20m.
Lời giải. Lúc dừng hẳn thì v t t t ( ) = →− + = ⇔ = 0 5 10 0 2.
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường là
( )
2 2
2
0
0
5
5 10 d 10 10m.
2
s t t t t
= − + = − + = Chọn C.
Câu 21. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc ( ) 3 2 m/s
1
a t
t
=
+
,
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi vận tốc của vật sau
10 giây gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 14 m/s. B. 13m/s. C. 11m/s. D. 12 m/s.
Lời giải. Ta có ( ) 3
d 3ln 1 .
1
v t t t C
t
= = + +
+
Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = 0 thì v = 6m/s nên ta có 3ln1 6 6. + = ⇔ = C C
Suy ra v t t ( ) = + + 3ln 1 6 m/s . ( )
Tại thời điểm t s v = → = + ≈ 10 10 3ln11 6 13m/s. ( ) Chọn B.
Câu 22. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc ( ) ( )
2 2 a t t t = + 3 m/s , trong
đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi quãng đường vật đi được
trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét?
A.
4000
m
3
. B.
4300
m
3
. C.
1900
m
3
. D.
2200
m
3
.
Lời giải. Ta có ( ) ( )
2 3
2 3
3 d .
2 3
t t v t t t t C = + = + +
Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = 0 thì v =10m/s nên suy ra C =10.
Suy ra ( ) ( )
2 3 3
10 m/s .
2 3
t t
v t = + +
Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
bằng
10 2 3 3 4 10
0
0
3 4300 10 10 m
2 3 2 12 3
t t t t s dt t
= + + = + + =
. Chọn B.
Câu 23. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162m so với mặt
đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển
động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật ( ) ( )
2
v t t t = − 10 m/s , trong đó t là
khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v
của khí cầu bằng bao nhiêu?
A. v = 5m/s. B. v = 7m/s. C. v = 9m/s. D. v = 3m/s.
Lời giải. Do ( )
2
v t t t t = − → < < 10 0 10.
Giả sử chiếc khí cầu chạm đất kể từ lúc bắt đầu chuyển động là 1
t giây (0 10 < < t
1 ) .
Theo đề bài ta có phương trình ( )
1
1
3 3
2 2 2 1
1
0
0
162 10 d 5 5
3 3
t
t
t t
t t t t t
= − = − = −
( ) 1
3
1 2 0 10
1 1 5 162 0 9 9 9m/s.
3
t
t
t t v ⇔ − + − = → = → = < < Chọn C.
Trang 45/97
Câu 24. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần
parabol với đỉnh 1
; 8
2
I
và trục đối xứng song song với
trục tung như hình bên. Tính quảng đường s người đó chạy
được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy.
A. s = 4 km. B. s = 2,3 km.
C. s = 4,5 km. D. s = 5,3 km.
Lời giải. Hàm vận tốc ( )
2
v t at bt c = + + có dạng là đường parabol đi qua các điểm O(0; 0) ,
A(1; 0) và 1
; 8
2
I
nên suy ra
0 32
0 32
0
8
4 2
c a
a b c b
a b c
c
= = −
+ + = ⇔ =
=
+ + =
( ) ( )
2 → = − + v t t t 32 32 m/s .
Vậy quảng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 45 phút là:
( )
3
4
2
0
s t t t = − + = 32 32 d 4,5km. Chọn C.
Câu 25. Cho tích phân
1
2
0
d
4
x
I
x
=
−
và x t = 2sin . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
6
0
I t d
π
=
. B.
6
0
I t t d
π
=
. C.
6
0
dt
I
t
π
=
. D.
3
0
I t d
π
=
.
Lời giải. Với x t = 2sin , suy ra
2 2 2
d 2cos d
.
4 4 4sin 2 cos 2 cos
x t t
x t t t
=
− = − = =
Đổi cận:
0 0
.
1
6
x t
x t
= → =
π
= → =
Vậy
6 6 6
0 0 0
2cos 2cos d d d .
2 cos 2cos
t t I t t t
t t
π π π
= = = Chọn A.
Câu 26. Tìm a, biết
2 3
1
d
ln
2
x
x
e x ae e I
e ae b
−
+
= =
+ +
∫
với a b, là các số nguyên dương.
A.
1
3
a = . B.
1
3
a = − . C. a = 2 . D. a = −2 .
Lời giải. Đặt x
t e = , suy ra d d . x
t e x = Đổi cận:
2
1
1
.
2
x t
e
x t e
= − → =
= → =
Suy ra ( )
2
2 2 3
2
1
1
d 1 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln ln .
2 1 2 1 2
e
e
e
e
t e e e I t e
t e e
e
+ +
= = + = + − + = =
+ + +
∫
→ = = a b 2; 1. Chọn C.
Câu 27. Cho tích phân 2
2
sin 3
0
sin cos d x
I e x x x
π
= ∫
và 2
t x = sin . Chọn khẳng định đúng?
A. ( )
1
0
1
1 d
2
t
I e t t = − ∫
. B.
1 1
0 0
2 d d t t I e t te t
= +
∫ ∫ .
Trang 46/97
C. ( )
1
0
2 1 d t
I e t t = − ∫
. D.
1 1
0 0
1
d d
2
t t I e t te t
= +
∫ ∫ .
Lời giải. Viết lại 2 2
2 2
sin 3 sin 2
0 0
sin cos d .cos .sin cos d . x x
I e x x x e x x x x
π π
= = ∫ ∫
Với 2
t x = sin , suy ra
1
d 2 sin cos d sin cos d d .
2
t x x x x x x t = → =
Đổi cận
0 0
.
1
2
x t
x t
π
= → =
= → =
Khi đó ( )
1
0
1
1 d
2
t
I e t t = − ∫
. Chọn A.
Câu 28. Có bao nhiêu số thực a thuộc khoảng (0;20π) sao cho 5
0
2
sin sin 2 d
7
a
x x x = ⋅ ∫
A. 20. B. 19. C. 9. D. 10.
Lời giải. Ta có 5 6
0 0
sin sin 2 d 2 sin .cos d .
a a
I x x x x x x = = ∫ ∫
Đặt t x = sin , suy ra d cos d . t x x = Đổi cận:
0 0
.
sin
x t
x a t a m
= → =
= → = =
Khi đó
7
6 7
0
0
2 2 2 d .
7 7
m m m
I t t t = = = ∫
Theo giả thiết ta có
7
2 2 1.
7 7
m
= ⇔ = m
Với 1 sin 1 2 .
2
m a a k π
= → = ⇔ = + π
Vì a ∈(0;20π) nên { } 1
0 2 20 10 0;1;2;3;...;9
2 2
k
k k k π
π π
∈ < + < ⇔ − < < → ∈ ℤ
→ có 10 giá trị của k → có 10 giá trị của a. Chọn D.
Câu 29. Cho hàm số
f x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn [2;4]
và thỏa mãn f (2 2 )=
,
f (4 2018. )=
Tính ( )
2
1
I f x x = ′ 2 d . ∫
A. I = −1008. B. I = 2018. C. I =1008. D. I = −2018.
Lời giải. Đặt t x = 2 , suy ra
1
d 2d d d .
2
t x x t = → = Đổi cận:
1 2
.
2 4
x t
x t
= → =
= → =
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 4
2
1 2
1 1 1 1 2 d d . . 4 2 2018 2 1008.
2 2 2 2
I f x x f t t f t f f = = = = − = − = ′ ′ ∫ ∫ Chọn C.
Câu 30. Giả sử
3
1
3 1 ln d
e a
e
I x x x
b
+
= = ∫
với a b , là các số nguyên dương. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào đúng?
A. ab = 64 . B. ab = 46 . C. a b − =12 . D. a b − = 4 .
Lời giải. Đặt 3 4
1
d d ln
d d
4
u x
u x x
v x x x
v
= = ⇒
=
=
.
Trang 47/97
Khi đó
4 4 4 4 4 4
3
1 1
1
ln 1 1 3 1 d .
4 4 4 16 4 16 16
e
e e
x x e x e e e I x x
− + = − = − = − =
∫
Suy ra a b = = 4; 16 . Chọn A.
Câu 31. Cho tham số m thỏa mãn ( )
2
2
0
I x x m x sin 2 d 1
π
= + = +π ∫
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.− < < 1 0. m B. 0 2. ≤ ≤ m C.
3 5. < < m D. m ≥ 5.
Lời giải. Tính
2
0
A x x x sin d
π
= ∫
. Đặt d d
.
d sin d cos
u x u x
v x x v x
= =
⇒
= = −
Suy ra ( )
2
2 2
0
0 0
A x x x x x cos cos d sin 1.
π
π π
= − + = = ∫
Do đó
2 2
2 2
0
0
2 d 1 1 .
4
m
I A m x x mx
π
π
π
= + = + = + ∫
Theo giả thiết ( )
2 2
2 2 1 1 4 3;5 .
4 4
m m
m
π π
+ = + ⇔ = ⇔ = ∈ π π Chọn C.
Câu 32. Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm f x "( ) liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn f f (1 4 2 , )= ( )
( )
2
1
∫
xf x xd 1 = . Tính tích phân ( )
2
2
1
I x f x x = " d . ∫
A. I = 2. B. I = −2. C. I =1. D. I = −1.
Lời giải. Đặt ( ) ( )
2 d 2 d
.
d " d
u x u x x
v f x x v f x
= = ⇒
= =
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1
1 1
I x f x xf x x f f xf x x = − = − − 2 d 4 2 1 2 d . ∫ ∫
( )
2
1
= − = − = − 2 d 2.1 2 xf x x ∫
. Chọn B
Câu 33. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f x x ( )> ∀ ∈ 0, ℝ . Biết f (0 1 )=
và ( )
( )
"
2 2
f x
x
f x
= − , tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m ( )= có hai nghiệm
thực phân biệt.
A. m e > . B. 0 1 < ≤ m . C. 0 < < m e
. D. 1< < m e
.
Lời giải. Lấy nguyên hàm hai vế
( )
( )
"
2 2
f x
x
f x
= − , ta được
( )
( )
d 2 2 d ( ) f x
x x x
f x
′
∫ ∫ = −
( ) ( )
2 2 ⇔ = − + ⇔ = − + ln 2 ln 2 f x x x C f x x x C (do f x x ( )> ∀ ∈ 0, ℝ )
( )
2
2 x x C f x e ⇔ = − +
.
Theo giả thiết (0 1 1 0 )
C
f e C = → = ⇔ = . Suy ra ( )
2
2
.
x x f x e − =
Xét phương trình ( ) 2
2 2
2 2 ln 2 ln 0
.
0 0
x x x x m x x m f x m e m
m m
−
− + = − + − =
= ⇔ = ⇔ ⇔
> >
Trang 48/97
Phương trình f x m ( )= có hai nghiệm thực phân biệt
1 ln 0
0
0
m
m e
m
∆ = − > ′
⇔ ⇔ < <
>
.
Chọn C.
Câu 34. Cho đồ thị hàm số y f x = ( ) như
hình vẽ bên. Diện tích S của hình phẳng
phần tô đậm trong hình được tính theo công
thức nào sau đây?
A. ( )
3
2
S f x xd
−
= ∫
.
B. ( ) ( )
0 3
2 0
S f x x f x x d d
−
= + ∫ ∫ .
C. ( ) ( )
2 3
0 0
S f x x f x x d d
−
= + ∫ ∫ .
D. ( ) ( )
0 0
2 3
S f x x f x x d d
−
= + ∫ ∫ .
y=f(x)
y
O x
-2 3
Lời giải. Theo hình vẽ, ta có ( ) ( ) ( )
3 0 3
2 2 0
S f x x f x x f x x d d d
− −
= = − + ∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 3
0 0
f x x f x x d d
−
= + ∫ ∫ . Chọn C.
Câu 35. Cho hai hàm số y f x y f x = = 1 2 ( ), ( ) liên tục trên [a b; .] Diện tích hình phẳng S giới hạn các
bởi đường cong y f x y f x = = 1 2 ( ), ( ) và các đường thẳng x a = , x b a b = < ( ) được xác định bởi công
thức nào sau đây?
A. ( ) ( ) 1 2 d .
b
a
S f x f x x = − ∫
B. ( ) ( ) 2 1 d .
b
a
S f x f x x = − ∫
C. 1 2 ( ) ( ) d .
b
a
S f x f x x = − ∫ D. ( ) ( ) 1 2 d .
b
a
S f x f x x = + ∫
Lời giải. Chọn A.
Câu 36. Diện tích hình phẳng S giới hạn
bởi các đồ thị hàm số y x y x = = − 2 , 4 và
trục hoành Ox (như hình vẽ) được tính
bởi công thức nào dưới đây?
A. ( )
4 4
0 0
S x x x x = + − 2 d 4 d . ∫ ∫
B. ( )
2 4
0 2
S x x x x = + − 2 d 4 d . ∫ ∫
C. ( )
4
0
S x x x = − + 2 4 d . ∫
Trang 49/97
D. ( )
2
0
S x x x = − − 4 2 d . ∫
Lời giải. Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
2
4
2 4 2;
10 16 0
4 0 4;
2 0 0.
x
x x x
x x
x x
x x
≤
• = − ⇔ ⇔ =
− + =
• − = ⇔ =
• = ⇔ =
Dựa vào hình vẽ, ta có ( )
2 4
0 2
S x x x x = + − 2 d 4 d . ∫ ∫ Chọn B.
Câu 37. Sơ đồ ở bên phải phác thảo của một
khung cửa sổ. Diện tích S của cửa sổ được tính
bởi công thức nào sau đây?
A.
1
2
2
1
2
5
4 d
2
S x x
−
= −
∫
. B.
1
2
2
1
2
5
2 d
2
S x x
−
= − ∫
.
C.
1
2
2
1
2
S x x 2 d
−
= ∫
. D. ( )
1
2
2
1
2
S x x 1 4 d
−
= − ∫
.
x
y
1
2
1
2
−
O
5 2
2
2
y x = −
2
y x = 2
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn
1 1
;
2 2
−
thì đồ thị hàm số
2
1
5
2
2
y x = − nằm phía trên đồ
thị hàm số
2
2
y x = 2 .
Do đó ( )
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 5 d 2 2 d 4 d .
2 2
S y y x x x x x x
− − −
= − = − − = −
∫ ∫ ∫ Chọn A.
Câu 38. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x x = +1 , trục hoành và đường
thẳng x =1.
A.
1
.
3
S = B.
2 2 1
.
3
S
−
= C.
2 2 1
.
3
S
+
= D. S = − 2 2 1 . ( )
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 2
x x x 1 0 0. + = ⇔ =
Diện tích hình phẳng:
1 1 CASIO
2 2
0 0
2 2 1 1 d 1 d .
3
S x x x x x x −
= + = + = ∫ ∫ Chọn B.
Câu 39. Xét hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ
thị hàm số ( )
2
y x = + 3 , trục hoành và đường
thẳng x = 0. Gọi A(0;9), B b( ;0) (− < < 3 0 b ).
Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB
chia (H ) thành hai phần có diện tích bằng
nhau.
A. b = −2 . B. 1
2
b = − .
Trang 50/97
C. b = −1. D. 3
2
b = − .
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: ( )
2
x x + = ⇔ = − 3 0 3.
Do đó ( ) ( )
0 CASIO 2
3
3 d 9. H
S x x
−
= + = ∫
Diện tích tam giác OAB bằng:
1 9
.
2 2
S OA OB b OAB = = .
Ycbt ( )
1 9 9 ( ) 3 0 1.
2 2 2
b
OAB H
S S b b − < < ←→ = ⇔ = → = − Chọn C.
Câu 40. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ℝ và
hàm số ( ) ( )
2
y g x x f x = = . có đồ thị trên đoạn [1;2]
như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền được
tô màu là 5
2
S = , tính giá trị của tích phân
( )
4
1
I f x x = d . ∫
A. 5
.
2
I = B. 5
.
4
I =
C. I =10. D. I = 5.
Lời giải. Diện tích phần tô màu là ( )
2
1
S g x x = d . ∫
Theo giả thiết ( )
2
2
1
5 5 . d .
2 2
S x f x x = ⇔ = ∫
Đặt 2
t x t x x = → = d 2 d . Đổi cận:
1 1
.
2 4
x t
x t
= → =
= → =
Khi đó ( ) ( ) ( )
2 4 4
2
1 1 1
5 1 . d d d 5
2 2
= = → = x f x x f t t f t t ∫ ∫ ∫ hay ( )
4
1
∫
f x xd 5. = Chọn D.
Câu 41. Cho một viên gạch men có dạng
hình vuông OABC như hình vẽ. Sau khi tọa
độ hóa, ta có O A B C (0;0 , 0;1 , 1;1 , 1;0 ) ( ) ( ) ( ) và
hai đường cong trong hình lần lượt là đồ
thị hàm số
3
y x = và 3
y x = . Tính tỷ số
diện tích của phần tô đậm so với diện tích
phần còn lại của hình vuông.
A. 1
.
2
B. 5
.
4
C. 4
.
3
D. 1.
Lời giải. Diện tích hình vuông có cạnh bằng 1 là 2 2
1 S = = 1 1 m .
Diện tích phần tô đậm :
1 CASIO
3 3 2
2
0
1
d m .
2
S x x x = − = = ∫
Trang 51/97
Do đó diện tích phần còn lại : 2 2
1 2
1 1 1 m 1.
2 2
S
S S S
S
∆ = − = − = → =
∆
Chọn D.
Câu 42. Ông An có một mảnh vườn hình Elip
có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé
bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất
rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối
xứng (như hình vẽ).
Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng 2
/m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên
dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.
Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Giả sử elip có phương trình
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = .
Từ giả thiết, ta có 2 16 8 a a = → = và 2 10 5. b b = → =
Vậy phương trình của elip là
( )
( )
2
2 2 1
2
2
5
64
8
1
64 25 5
64
.
8
y x E
x y
y x E
= −
+ =
→
− −
=
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E E x 1 2 ), , 4 ( ) = − và x = 4 .
Do đó
4 4
2 2 2
4 0
5 5 3 2 64 d 64 d 80 m
8 2 6 4
S x x x x π
−
= − = − = +
∫ ∫
.
Trang 52/97
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC.
1. Các khái niệm liên quan Số phức:
1. Khái niệm số phức
•Số phức (dạng đại số) : z a bi a b = + ∈ ; , ( ℝ) . Trong đó : a là phần thực, b là phần
ảo, i là đơn vị ảo, i
2
= −1.
•Tập hợp số phức kí hiệu: ℂ .
• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) .
• z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) ⇔ phần thực bằng 0 (a = 0).
•Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau
•Hai số phức z a bi a b 1
= + ∈ ( , ℝ) và z c di c d 2
= + ∈ ( , ℝ) bàng nhau khi phần thực
và phần ảo của chúng tương đương bằng nhau.
•Khi đó ta viết
a c
z z a bi c di
b d 1 2
=
= ⇔ + = + ⇔
=
3. Biểu diễn hình học số phức
Số phức z a bi a b = + ∈ ( , ℝ) được biểu diễn bởi điểm M a b ( ; ) hay bởi u a b = ( ; )
trong
mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy .
4. Môđun của số phức
Độ dài của vectơ OM
được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z . Vậy z OM =
hay z a bi OM a b 2 2 = + = = +
.
Một số tính chất:
• z a b zz OM 2 2 = + = =
; z z =
• z z ≥ ∀ ∈ 0, ; ℂ z z = ⇔ = 0 0 .
• z z z z 1 2 1 2 . . = ;
z z
z z
1 1
2 2
= ;
z z z
z
z
1 1 2
2
2
2
= .
• z z z z z z 1 2 1 2 1 2 − ≤ ± ≤ + .
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Số phức liên hợp của số phức z i = + 2 là
A. z i = − +2 . B. z i = − −2 . C. z i = −2 . D. z i = +2 .
Hướng dẫn
Số phức liên hợp của số phức z i = +2 là z i = −2 . Chọn C.
Trang 53/97
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z i = − +1 2 là điểm nào dưới đây?
A. Q(1; 2) . B. P( 1; 2) − . C. N(1; 2) − . D. M( 1; 2) − − .
Hướng dẫn
Số phức z a bi a b = + ∈ ( , ℝ) được biểu diễn bởi điểm M a b ( ; ) . Chọn B.
Ví dụ 3. Mô đun của số phức liên 1 2 + i bằng
A. 5. B. 3. C. 5 . D. 3 .
Hướng dẫn
Số phức z a bi a b = + ∈ ( , ℝ) thì 2 2 z a bi a b = + = + . Chọn C.
C. Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)
1. Cho hai số phức 1
z i = +2 3 và 2
z i = − −3 5 . Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức
w z z = +1 2 .
A. 3. B. 0 . C. − −1 2i . D. −3.
2. Cho hai số phức 1
z i = − 2 3 và 2
z i = − +1 5 . Tổng phần thực và phần ảo của số phức w z z = +1 2
bằng.
A. 3i . B. 3. C. 1. D. 2i .
3. Cho số phức z i = − −3 2 . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng
A. −1. B. −i . C. −5. D. −5i .
4. Cho số phức z i = −5 4 . Số phức z − 2 có
A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng −4 . B. Phần thực bằng −4 và phần ảo bằng 3.
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −4i . D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −4 .
5. Cho số phức z i = − + 1 4 3 ( ) . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng −11 và phần ảo bằng 4 . B. Phần thực bằng −11 và phần ảo bằng 4i .
C. Phần thực bằng −11 và phần ảo bằng −4i . D. Phần thực bằng
−11 và phần ảo bằng −4
6. Cho số phức z thỏa (1 3 + = − i z i ) . Tìm phần ảo của z.
A. −2i . B. 2i . C. 2 . D. −2 .
7. Cho số phức z a bi = + thỏa mãn (z i z i i − + − = + 8 6 5 5 ) . Giá trị của a b + bằng
A. 19 . B. 5. C. 14 . D. 2 .
8. Cho hai số phức 1
z i = −3 3 và 2
z i = − +1 2 . Phần ảo của số phức 1 2 w z z = + 2 là
A. 7 . B. 1. C. −1. D. −7 .
9. Số phức
4 3i
z
i
−
= có phần thực là:
A. 3. B. −3. C. −4 . D. 4 .
10. Cho số phức z i = −1 2 . Tìm phần ảo của số phức
1
P
z
= .
Trang 54/97
A. 2
3
− . B. 2
3
. C. − 2 . D. 2 .
11. Cho số phức z a bi ab a b = + ≠ ∈ ( 0, , ℝ) . Tìm phần thực của số phức 2
1
w
z
= .
A.
( )2
2 2
2ab
a b
−
+
. B.
( )
2 2
2
2 2
a b
a b
+
+
. C.
( )
2
2
2 2
b
a b +
. D.
( )
2 2
2
2 2
a b
a b
−
+
.
12. Cho hai số phức 1
z i = +1 2 và ( )
2
2
z m m i = − + − 3 6 , (m ∈ ℝ) Tìm tập hợp tất cả các giá trị m
để 1 2 z z + là số thực.
A. {−2; 2}. B. {− 6; 6}. C. {−2} . D. {2}.
13. Cho số phức z i = − 2 3 . Gọi a b, lần lượt là phần thực và phần ảo của z . Tìm a b, .
A. a b = = 3, 2 . B. a b = = − 2, 3 . C. a b = − = 3, 2 . D. a b = − = 2, 3.
14. Cho số phức z i i = − (2 3 ) có phần thực là a và phần ảo là b . Tìm a b, .
A. a b = = 3; 2
.
B. a b = = − 3; 2 . C. a b = − = 3; 2
.
D. a b = = − 2; 3 .
15. Phần ảo của số phức ( )2
z i = −1 2 là:
A. −4i . B. −3. C. −4 . D. 4 .
16. Cho số phức z a bi a b = + ∈ ( , ℝ). Số phức 2
z có phần thực là:
A. a b + . B. a b − . C. 2 2
a + b . D. 2 2
a − b .
17. Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức ( )2
z i = +1 2 .
A. a b = = 4, 5. B. a b = = − 4, 3. C. a b = − = 4, 5. D. a b = − = 3, 4.
18. Cho các số phức z i = +1 2 , w i = +2 . Số phức u z w = . có.
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 . B. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i .
C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3 . D. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i .
19. Cho số phức z x yi = + ; z ≠ 1 ( x y; ∈ ℝ ). Phần ảo của số
1
1
z
z
+
−
là:
A.
( )2 2
2
1
x
x y
−
− +
. B.
( )2 2
1
x y
x y
+
− +
. C.
( )2 2
1
xy
x y − +
. D.
( )2 2
2
1
y
x y
−
− +
.
20. Có bao nhiêu số thực a để số phức z = + a i 2 có môđun bằng 2 ?
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số.
Trang 55/97
2. Các phép toán về số phức:
1. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z a bi a b = + ∈ ( , ℝ) là z a bi = − .
•
z z
z z z z z z z z z z z z a b
z z
1 1 2 2
2 2
; " " ; . " . "; ; . .
= ± = ± = = = +
• z là số thực ⇔ = z z ; z là số ảo z z = − .
2. Phép cộng và phép trừ số phức
Cho hai số phức z a bi a b 1
= + ∈ ( , ℝ) và z c di c d 2
= + ∈ ( , ℝ). Khi đó:
z z a c b d i 1 2 ± = + ± + ( ) ( )
•Số đối của số phức z a bi = + là − = − − z a bi .
•Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số thực
đó: z a bi z z a = + + = , 2 .
3. Phép nhân số phức
•Cho hai số phức z a bi a b 1
= + ∈ ( , ℝ) và z c di c d 2
= + ∈ ( , ℝ).
Khi đó: z z a bi c di ac bd ad bc i 1 2 = + + = + + ( )( ) – ( ) ( ) .
•Với mọi số thực k và mọi số phức z a bi a b = + ∈ ( , ℝ), ta có
k z k a bi ka kbi . . . = + = + ( )
Đặc biệt: 0. 0 z = với mọi số phức z .
•Lũy thừa của i : i i i i i i i i 0 1 2 3 2
= = = − = = − 1, , 1, .
n n n n i i i i i i n 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, , + + + ∗ = = = − = − ∀ ∈ ℕ .
B. Các ví dụ:
Ví dụ 4. . Cho hai số phức = + 1
z i 2 và = + 2
z i 1 3 . Phần thực của số phức +1 2 z z bằng
A. 1. B. 3. C. 4. D. - 2.
Hướng dẫn
Ta có z z i i i 1 2 + = + + + = + (2 1 3 3 4 ) ( ) . Phần thực của 1 2 z z + là 3. Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hai số phức = − 1
z i 3 và = − + 2
z i 1 . Phần ảo của số phức 1 2 z z bằng
A. 4. B. 4i . C. −1 . D. −i .
Hướng dẫn
( )( )
2
1 2 z z i i i i i i = − − + = − + + − = − + 3 1 3 3 2 4 nên phần ảo của số phức 1 2 z z bằng 4.
Trang 56/97
Ví dụ 6. Cho hai số phức 1
z i = − +3 và 2
z i = −1 . Phần ảo của số phức z z 1 2 + bằng
A. −2 . B. 2i . C. 2 . D. −2i .
Hướng dẫn
Dễ dàng tính được 1 2 z z i + = − +2 2 nên có phần ảo bằng 2. Chọn C.
Ví dụ 7. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức ( )2
z i = +1 2 có toạ độ là
A. P(−3;4). B. Q(5;4) . C. N (4; 3− ) . D. M (4;5).
Hướng dẫn
Dễ dàng tính được ( )2
z i i i = + = − + = − + 1 2 1 4 4 3 4 nên có điểm biểu diễn P(-3; 4). Chọn A.
C. Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)
21. Cho hai số phức 1
z i = +1 2 , 2
z i = −2 3 . Tổng của hai số phức 1
z và 2
z là
A. 3 5 − i . B. 3 5 + i . C. 3 − i . D. 3 + i .
22. Cho số phức z i = +4 6 . Tìm số phức w i z z = + .
A. w i = − 10 10 . B. w i = − + 10 10 . C. w i = + 10 10 . D. w i = − +2 10 .
23. Cho số phức z i = +2 5 . Số phức w iz z = + là:
A. w i = −7 3 B. w i = − −3 3 C. w i = +3 7 D. w i = − −7 7
24. Cho số phức z i = +3 2 . Tìm số phức ( )2
w z i z = + − 1 .
A. w i = −7 8 . B. w i = − +7 8 . C. w i = +3 5 . D. w i = − +3 5 .
25. Cho các số phức 1
z i = −2 3 , 2
z i = +1 4 . Tìm số phức liên hợp với số phức 1 2 z z .
A. − − 14 5i . B. − − 10 5i . C. − + 10 5i . D. 14 5 − i .
26. Số phức nghịch đảo của số phức z i = +1 3 là
A. ( ) 1
1 3
10
+ i . B. ( ) 1
1 3
10
− i . C. 1 3 − i . D. ( ) 1
1 3
10
+ i .
27. Phần thực của số phức z i i = − − (3 1 4 )( ) là:
A. −1. B. 13 . C. 1. D. −13 .
28. Số nào trong các số phức sau là số thực.
A. 2
2
i
i
+
−
. B. (2 5 1 2 5 + + − i i ) ( ) . C. ( 3 3 + − − i i ) ( ). D. (1 3 1 3 + − i i )( ) .
29. Cho số phức
1 3
2 2
z i = − + . Số phức 2
1+ +z z bằng.
A. 2 3 − i . B. 0 . C. 1 3
2 2
− + i . D. 1.
30. Cho số phức z thỏa 2 3 10 z z i + = + . Tính z .
A. z = 5 . B. z = 3 . C. z = 3 . D. z = 5 .
Trang 57/97
3. Phương trình bậc hai với hệ số thực:
A. Lý thuyết:
1. Căn bậc hai của số thực âm
•Cho số z , nếu có số phức z
1
sao cho z z
2
1
= thì ta nói z
1
là một căn bậc hai của z .
•Mọi số phức z ≠ 0 đều có hai căn bậc hai.
•Căn bậc hai của số thực z âm là ±i z .
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±i a .
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax bx c a b c a 2
+ + = ∀ ∈ ≠ 0, , , , 0 ℝ . Xét biệt số b ac 2 ∆ = − 4 của
phương trình. Ta thấy:
•Khi ∆ = 0 , phương trình có một nghiệm thực
b
x
2a
= − .
•Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
b
x
a
1,2 2
− ± ∆
= .
•Khi ∆ < 0 , phương trình có hai nghiệm phức
− ± ∆
=
b i
x
a
1,2 2
.
B. Các ví dụ:
Ví dụ 8. Gọi 0
z là nghiệm có phần ảo âm của phương trình − + = 2
z z2 5 0. Môđun của số phức
+0
z i bằng
A. 2. B. 2 . C. 10 . D. 10.
Ta có 2
z z z i − + = ⇔ = ± 2 5 0 1 2 .
Suy ra 0 0 0 z i z i i z i = −1 2 1 2 + = − + = . Chọn B.
Ví dụ 9. Gọi 1
z và 2
z là hai nghiệm của phương trình 2
2 3 3 0 z z + + = . Khi đó, giá trị
2 2
z z 1 2 + là
A. 9
4
. B. 9
4
− . C. 9. D. 4 .
Lời giải
Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2
3
2
z z + = − và 1 2
3
.
2
z z = .
( )2 2 2
1 2 1 2 1 2 z z z z z z + = + − 2 .
2
3 3 2
2 2
= − − ⋅
3 9 3
4 4
= − = − . Chọn B.
C. Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)
31. Gọi 1
z là nghiệm có phần ảo âm của 2
z z − + = 4 20 0 . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của 1
z .
Trang 58/97
A. M (− − 2; 4). B. M (− − 4; 2). C. M (2; 4 − ) . D. M (4; 2 − ) .
32. Gọi 0
z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
2 6 5 0 z z − + = . Số phức 0
iz bằng
A. 1 3
2 2
− + i . B. 1 3
2 2
+ i . C. 1 3
2 2
− − i . D. 1 3
2 2
− i .
33. Gọi 0
z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z − + = 6z 13 0 . Tìm số phức
0
0
6
w z
z i
= +
+
A. 24 7
w
5 5
= − + i . B. 24 7
w
5 5
= − − i . C. 24 7
w
5 5
= − i . D. 24 7
w
5 5
= + i .
34. Gọi 1
z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z z − + = 2 5 0 . Tìm tọa độ điểm biểu
diễn số phức
1
7 4i
z
−
trên mặt phẳng phức?
A. P(3; 2) . B. N(1; 2 − ) . C. Q(3; 2− ) . D. M (1; 2).
35. Cho các số phức 1
z i = +3 2 , 2
z i = −3 2 . Phương trình bậc hai có hai nghiệm 1
z và 2
z là
A. 2
z z + + = 6 13 0 . B. 2
z z − + = 6 13 0 . C. 2
z z + − = 6 13 0 . D. 2
z z − − = 6 13 0 .
36. Kí hiệu 0
z là số phức có phần ảo âm của phương trình 2
9 6 37 0 z z + + = . Tìm toạ độ của điểm
biểu diễn số phức w iz = 0
.
A. 1
2;
3
− −
. B. 1
; 2
3
− −
. C. 1
2;
3
−
. D. 1
;2
3
−
.
37. Gọi 1
z ,
2
z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3 2 0 z z − + = . Tính 2 2
1 2 z z + .
A. 8
3
. B. 4
3
. C. 11
9
− . D. 2
3
.
38. Gọi 1
z , 2
z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z z + + = 6 13 0 trong đó 1
z là số phức có phần
ảo âm. Tìm số phức 1 2 ω = + z z 2 .
A. ω = +9 2i . B. ω = −9 2i . C. ω = − −9 2i . D. ω = − +9 2i .
39. Phương trình 2
z z + + = 3 9 0 có hai nghiệm phức 1
z , 2
z . Tính 1 2 1 2 S z z z z = + + .
A. S = 6 . B. S = −6 . C. S =12 . D. S = −12 .
40. Biết phương trình 2 2018
z z + + = 2017.2018 2 0 có hai nghiệm 1
z , 2
z . Tính 1 2 S z z = + .
A. 2018 S = 2 . B. 2019 S = 2 . C. 1009 S = 2 . D. 1010 S = 2 .
Trang 59/97
CHỦ ĐỀ 5:
HÌNH NÓN, HÌNH TRỤ, MẶT CẦU
1. Kiến thức cơ bản về các khối tròn xoay:
1.1. Hình nón và khối nón :
a) Đặc điểm của hình nón:
OO’gọi là trục của hình nón
l gọi là đường sinh của hình nón.
O gọi là đỉnh của hình nón
Hình tròn C (O’ ; R) gọi là đáy của
hình nón
b) Diện tích xung quanh của hình nón :
Sxq= πRl
* Diện tích toàn phần của hình nón
Stp= Sxq + Sđáy = πRl + πR
2
c) Thể tích khối nón:
1 1 2
.
3 3
V Bh R h = = π
d) Công thức liên hệ giữa đường cao, đường sinh và bán kính đáy
l2
= h2
+ R2
e) Đặc điểm của thiết diện qua đỉnh, qua trục.
+ Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân có cạnh bên bằng đường sinh
+ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân có cạnh bên bằng đường sinh và cạnh đáy
bằng đường kính của đường tròn đáy
f) Góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng OMO" (hình vẽ trên)
1.2. Hình trụ và khối trụ:
a) Đặc điểm của hình trụ:
+ Hai đáy là hai hình tròn bằng nhau.
+ Đường cao h là đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn
đáy.
+ Đường sinh l = h.
+ OO’ gọi là trục của hình trụ.
b) Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq= 2πRl
c) Diện tích toàn phần của hình trụ:
STP = Sxq + Sđáy = 2πRl + 2πR
2
d) Thể tích của khối trụ:
2 V Bh R h = = π .
e) Đặc điểm của thiết thiện song song trục và qua trục
+ Thiết diện song song trục của hình trụ là hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh.
+ Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước bằng đường sinh và đường
kính đáy.
M
Trang 60/97
1.3. Mặt cầu và khối cầu
a) Định nghĩa: Cho điểm O và số dương R.
Tập hợp tất cả những điểm trong không
gian cách điểm O một khoảng bằng R gọi
là mặt cầu tâm O bán kính R. Kí hiệu là S(O; R).
Nhận xét:
M ∈S(O; R) ⇔ OM = R
b) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:
Diện tích mặt cầu: Sxq= 4πR
2
Thể tích khối cầu:
4 3
3
V R = π
1.4. Kết thức bổ sung về hình học phẳng
a) Diện tích tam giác
Cho tam giác ABC thì diện tích S∆
được tính theo một trong các công thức sau:
. SABC =
1
2
a
ah =
1 1
2 2 b c bh ch =
. SABC =
1 1 sin sin
2 2
ab C ac B = =
1
sin
2
bc A
Trong đó ha, hb, hc lần lượt là độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, B và C.
Đặc biệt : Diện tích tam giác đều cạnh a tính bởi công thức :
2
3
4
a
S =
Diện tích tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a và b tính bởi công thức
2
ab S =
2.1. Bài tập trắc nghiệm về hình nón, khối nón
Câu 1: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r , chiều cao h và đường sinh l . Kết
luận nào sau đây sai?
A. 1 2
3
V r h = π . B. 2
tp S rl r = + π π . C. 2 2 2 h r l = + . D.
xq
S rl = π .
Lời giải
Từ công thức liên hệ giữa l, h và r ta có: 2 2 2 2 2 2 h r l h l r + = = − .
Chọn C
Câu 2: Gọi l , h , r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón.
Diện tích xung quanh
xq
S của hình nón là
A.
xq
S rh = π . B. 2 xq
S rl = π .
Trang 61/97
C.
xq
S rl = π . D. 1 2
3
xq
S r h = π .
Lời giải
xq
S rl = π .
Chọn C
Câu 3. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng 2π ( )
2
cm và bán kính đáy
1
2
(cm). Khi đó độ dài đường sinh là
A. 2 (cm). B. 3 (cm). C. 1 (cm). D. 4 (cm).
Lời giải
Ta có: 2
4
1
.
2
xq
xq
S
S Rl l
R
= = = =
π
π
π
π
.
Chọn C
Câu 4: Cho hình nón (N ) có bán kính đáy bằng 6 và diện tích xung quanh bằng 60π . Thể tích
V của khối nón (N ) bằng
A. V = π 288 . B. V = π 96 .
C. V = π 432 6 . D. V = π 144 6 .
Lời giải
Chọn B
Ta có 1 2
3
V R h = π .
Lại có
2 2
6
60 xq
R
S Rl R h R
=
= π = π = π +
6
8
R
h
=
=
V = π 96 .
Câu 5: Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm , độ dài đường sinh bằng 26 cm . Thể tích V của
khối nón tương ứng bằng
A. V = 800π
3
cm . B. V =1600π
3
cm .
C. 1600
3
V =
π 3
cm . D. 800
3
V =
π 3
cm .
Lời giải
Chọn D
Bán kính đáy của hình nón: 2 2 R l h = − =10 cm .
Vậy thể tích khối nón tương ứng là: 1 1 800 2
. .100.24
3 3 3
V R h = = =
π
π π .
Trang 62/97
Câu 6: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15π . Tính thể
tích V của khối nón (N) là:
A. 12π . B. 20π . C. 36π . D. 60π .
Lời giải
Ta có diện tích xung quanh của hình nón là xq S rl = π 15 .3. π π = l ⇔ =l 5.
Chiều cao của khối nón là 2 2 h l r = −
2 2
= − 5 3 = 4 .
Thể tích của khối nón là 1 2
3
V r h = π
1 2
.3 .4
3
= π =12π .
Chọn A
Câu 7: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB a = và AC a = 3 . Tính độ dài
đường sinh l của hình nón có được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
A . l a = . B. l a = 2 . C. l a = 3 . D. l a = 2 .
Lời giải
Tam giác ABC vuông tại A, AB a = và
AC a = 3 nên BC a = 2 .
Độ dài đường sinh l của hình nón có được
khi quay tam giác ABC xung quanh trục
AB là l BC a = = 2 .
Chọn B
Câu 8: Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a
và cạnh bên bằng 4a là
A. 2
S a = 2 2π . B. 2
S a = 4π . C. 2
S a = 3π . D. 2
S a = 2π .
Lời giải
Hình nón có đường sinh l SA a = = 4 và
bán kính đáy 2
2
a
r OB = = .
Diện tích xung quanh của hình nón là
2
2 2 xq
S rl a = = π π .
Chọn A
Trang 63/97
Câu 9: Cho tứ diện đều SABC cạnh a . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đường
tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
A. 3 2
3
πa . B. 2
π a . C. 2
3πa . D. 2
2 3πa .
3
3
a
r AO = = .
3 2
.
3
xq
S rl r SA a = = =
π
π π .
Chọn A
A
B
C
S
O
Câu 10. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng
a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng S ABCD . . Thể tích V của khối
nón tương ứng là
A.
3
3
12
a
V =
π
B.
2
2
xq
a
S =
π
, C.
3
6
4
a
V =
π
. D. 2
xq
S a = π ,
Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta có: góc giữa đường sinh và mặt
đáy là SAO = ° 60 .
Tam giác SAO vuông tại O :
2
.cos 2.cos60
2
a
R OA SA SAO a = = = ° = .
6
.sin 2.sin 60
2
a
h SO SA SAO a = = = ° = .
Vậy
3
1 6 2
3 12
a
V R h = =
π
π .
Chọn A
Câu 11: Cho tam giác SOA vuông tại O có OA = 3 cm , SA = 5 cm , quay tam giác SOA xung
quanh cạnh SO được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là
A. ( )
3
12 cm π . B. ( )
3
15 cm π . C. ( ) 80 3
cm
3
π
. D. ( )
3
36 cm π .
Lời giải
Trang 64/97
2 2 SO SA OA = − = 4 ;
1 2
3
V r h = π
1 2
.3 .4
3
= π =12π ( )
3
cm .
Chọn A
O
A
S
Câu 12: Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều và có thể tích 3 3
3
V a = π . Diện tích
xung quanh S của hình nón đó là
A. 1 2
.
2
S a = π B. 2
S a = 4 . π
C. 2
S a = 2 . π D. 1
2018
2018
≤ ≤x
Lời giải
Vì thiết diện là tam giác đều nên l r = 2 và h r = 3
Ta có 3 3
3
V a = π
1 3 2 3
3 3
⇔ = π π r h a ⇔ =r a l a = 2
Vậy 2
S rl a = = π π2 . Chọn B
Câu 13. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh S của một hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A, B.
Biết đường sinh l = 2a, AB = a và bán kính đường tròn đáy là R = a. Khoảng cách từ tâm của
đường tròn đáy đến mặt phẳng (P) bằng
A. 15
5
a B. 6 15
5
a C. 9 15
5
a D. 12 15
5
a
Bài giải
Trong hình vẽ, M là trung điểm AB và OH ⊥
SM thì OH là khoảng cách từ O đến (P).
Tính được
15
2
a
SM = ,
3
2
OM a = và
SO a = 3 . Từ đó
3
3. . 3 15 2
15 5
2
a
a
SO OM OH a
SM a
= = =
Chọn B
Câu 14: Khi quay một tam giác đều cạnh bằng a (bao gồm cả điểm trong tam giác) quanh một
cạnh của nó ta được một khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó theo a bằng
Trang 65/97
A.
3
4
πa
. B.
3
3
8
π a
. C.
3
3
4
πa
. D.
3
3
24
π a
.
Lời giải
Khối tròn xoay có được là hai khối nón
giống nhau úp hai đáy lại với nhau.
Mỗi khối nón có đường cao
2
a
h = , bán kính
đường tròn đáy 3
2
a
r = .
Vậy thể tích khối tròn xoay là
1 2
2. . . .
3
V h r = π
2
2 3
3 2 2
a a
=
π
3
4
a
=
π
.
Chọn A
Câu 15: Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với ∆ quay quanh ∆ thì ta được
A. Hình nón tròn xoay. B. Mặt nón tròn xoay.
C. Khối nón tròn xoay. D. Mặt trụ tròn xoay.
Lời giải
Chọn B
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a . Tam giác SAB có diện tích
bằng 2
2a . Thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác
ABCD bằng
A.
3
7
8
πa
. B.
3
7
7
πa
. C.
3
7
4
πa
. D.
3
15
24
πa
.
Lời giải
Gọi O AC BD = ∩ và M là trung điểm
AB . Hình nón có đỉnh S và đường tròn đáy
nội tiếp tứ giác ABCD có bán kính đáy là
2
a
R OM = = và có chiều cao là h SO = .
Thể tích khối nón 1
3
V Bh = trong đó
2
2
4
a
B R = =
π
π .
O M
B
D A
C
S
Trang 66/97
Diện tích tam giác SAB là 2
2a nên 1 2
. 2
2
SM AB a = ⇔ SM a = 4 .
Trong tam giác vuông SOM ta có
2
2 2 2 3 7 16
4 2
a a SO SM OM a = − = − =
hay 3 7
2
a
h = .
Vậy thể tích của khối nón
3
7
8
a
V =
π
.
Chọn A
Câu 17: Cho hình lập phương ABCD A B C D . ′ ′ ′ ′ có cạnh bằng a . Một hình nón có đỉnh là tâm
hình vuông A B C D ′ ′ ′ ′ và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD . Gọi S là
diện tích xung quanh của hình nón đó. Khi đó S bằng
A. 3 2
3
S a = π . B. 2 2
2
S a = π .
C. 3 2
2
S a = π . D. 6 2
2
S a = π .
Lời giải
Ta có 2
2 2
AC a
r = = , h OO AA a = = = ′ ′ ,
2
2 2 2 6
2 2
a a l h r a = + = + = .
2 6 3 2
. .
2 2 2
a a S rl a = = = π π π .
Chọn C
Câu 18: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều có diện tích bằng 9 3 . Thể
tích khối nón đã cho là
A. 3
6 3πcm B. 3
9 3πcm C. 3
12 3πcm D. 3
16 3πcm
Lời giải
Cạnh a của tam giác đều thỏa
2
3
9 6
4
a
= a cm =
Đường sinh của hình nón là l = a = 6cm, bán kính đường tròn đáy r = a/2 = 3cm.
Độ dài đường cao hình nón 2 2 2 2 h l r cm = − = − = 6 3 3 3
Thể tích khối nón 1 1 2 2 3 .3 .3 3 9 3.
3 3
V r h cm = = = π π π
Trang 67/97
Chọn B
Câu 19: Cho tam giác AOB vuông tại O , có OAB = ° 30 và AB a = . Quay tam giác AOB quanh
trục AO ta được một hình nón. Diện tích xung quanh xq S của hình nón bằng
A.
2
2
xq
a
S
π
= . B. 2
xq S a = π . C.
2
4
xq
a
S =
π
. D. 2
2 xq S a = π .
Lời giải
xq S Rl = π trong đó R OB = , l AB = .
Trong tam giác vuông OAB ta có
OB AB = ° .sin 30 hay
2 2
AB a R = = .
Vậy
2
2
xq
a
S
π
= .
Chọn B
A
O B
Câu 20: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h = 20 cm( ), bán kính đáy r = 25 cm( ). Một thiết
diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
là 12 cm( ). Diện tích của thiết diện bằng
A. ( )
2
S = 500 cm . B. ( )
2
S = 400 cm .
C. ( )
2
S = 300 cm . D. ( )
2
S = 406 cm .
Lời giải
Theo bài ta có
AO r = = 25; SO h = = 20; OK =12 (Hình vẽ).
Lại có ( ) 2 2 2
1 1 1 OI 15 cm
OK OI OS
= + =
( )
( )
2 2
2 2 2
2 25 15 40 cm ;
1
25 cm .25.40 500 cm .
2
SAB
AB AI
SI SO OI S∆
= = − =
= + = = =
Chọn A
Câu 21: Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90° . Cắt hình nón bằng một
mặp phẳng (α ) sao cho góc giữa (α ) và mặt đáy hình nón bằng 60° . Khi đó diện tích
thiết diện là
A. 2 2
3
a . B. 3 2
2
a . C. 3 2
2
a . D. 2 2
3
a .
Lời giải
Trang 68/97
Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đường tròn
đáy; I là trung điểm AB , Góc tạo bởi mp thiết
diện và đáy là góc SIO .
+ Trong tam giác vuông SOA có
2
2
a
OA OS = = ;
+ Trong tam giác vuông SOI có
2
sin 60 3
SO a SI = =
°
;
6
tan 60 6
SO a OI = =
°
;
2 2
3
a
AI OA OI = − = ;
2
3
a
AB = ;
2
1 2
.
2 3 td
a
S AB SI = = .
Chọn A
Câu 22: Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , bán kính, R = 3cm , góc ở đỉnh hình nón
là ϕ = ° 120 . Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB ,
trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng
A. 2
3 3 cm . B. 2
6 3 cm . C. 2
6 cm . D. 2
3 cm .
Lời giải
Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là
ϕ = ° 120 và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua
đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB nên mặt
phẳng không chứa trục của hình nón.
Do góc ở đỉnh hình nón là ϕ = ° 120 nên
OSC = ° 60 .
Xét tam giác vuông SOC ta có
tan OC OSC
SO
=
tan
OC SO
OSC
=
3
tan 60
=
°
= 3 .
Xét tam giác vuông SOA ta có
2 2 SA SO OA = + = 2 3 .
Do tam giác SAB đều nên
( ) 1 2
2 3 .sin 60
2
SAB S∆
= ° = 3 3 ( )
2
cm .
Chọn A
D O
C
S
A
B
Câu 23: Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng
3 và thiết diện qua trục là tam giác đều bằng
A. 16π . B. 8π . C. 20π . D. 12π .
Hướng dẫn giải
Trang 69/97
Giả sử thiết diện qua trục là tam giác đều SAB và
OH là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đường
sinh SA.
Ta có : OH = 3 ,
sin 60
OH OA =
°
⇔ = OA 2 AB = 4 và ℓ = = AB 4.
Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là
2
tp S r r = + π π ℓ =12π .
Chọn D
Câu 24: Thiết diện qua trục của hình nón (N ) là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .
Diện tích toàn phần của hình nón (N ) bằng
A.
( )
2
2 2
2
tp
a
S
+
=
π
. B.
( )
2
2 1
2
tp
a
S
+
=
π
.
C. ( )
2
S a tp = + π 2 1 . D.
( )
2
1 2 2
2
tp
a
S
+
=
π
.
Lời giải
Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hình nón
(như hình vẽ).
Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại
S và SA SB a = = .
Do đó 2 2 AB SA SB a = + = 2 và
1 2
2 2
a
SO OA AB = = = .
Diện tích xung quanh của hình nón:
2
2 2
. . . .
2 2 xq
a a S OA SA a = = =
π
π π .
Diện tích đáy
2
2
a
S =
π
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón (N ) là:
( )
2
2 2 2 1 2
2 2 2 tp
a a a S
+
= + =
π π π
.
Chọn B
Trang 70/97
Câu 25: Thiết diện qua trục của một khối nón (N ) là một tam giác vuông cân và có diện tích
bằng 2
a . Thể tích V của khối nón (N ) bằng
A.
3
3
a
V =
π
. B.
3
4
2
a
V =
π
. C.
3
2
3
a
V =
π
. D.
3
3
a
V =
Hướng dẫn giải
Giả sử thiết diện qua trục của (N ) là ∆SCD .
Ta có ∆SCD vuông cân tại S và có diện tích
bằng 2
a
1 2 2
2
SC a = SC a = 2
.
2
SC
SO OC a = = =
Do đó 1 2
3
V R h = π
1 2
. .
3
= π OC SO
3
3
a
=
π
.
Chọn A
O
D
C
A B
S
Câu 26: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền là 2 3 .
Thể tích của khối nón này bằng
A. 3π . B. 3 2 π . C. π 3 . D. 3 3 π .
Lời giải
Ta có thể tích khối nón 1 2
.
3
V r h = π : Trong đó
đường sinh ( )
2
2
2 2 3 l = l = 6
h = − = 6 3 3 , r = 3 suy ra
1
.3. 3 3
3
V = = π π .
Chọn C
2 3
h
l
Câu 27: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân
có cạnh huyền bằng a 6 . Thể tích V của khối nón đó bằng
A.
3
6
4
a
V =
π
. B.
3
6
3
a
V =
π
.
C.
3
6
6
a
V =
π
. D.
3
6
2
a
V =
π
.
Lời giải
Trang 71/97
Theo bài ra ta có 6
2
a
AH = .
Lại có ∆SAB vuông cân tại S nên
2
AB SH =
6
2
a
= = AH .
Thể tích khối nón là
1 2
. .
3
V SH AH = π
2
1 6 6
. .
3 2 2
a a
=
π
6 3
4
= a
π
.
Chọn A
Câu 28: Cho hình nón có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a 2 . Diện tích xung quanh của hình nón bằng
A.
2
2
3
πa
. B.
2
2
2
πa
. C. 2
2 2πa . D. 2
2πa .
Hướng dẫn giải
Tam giác SAB vuông cân tại S nên ASO = ° 45 .
Suy ra tam giác SAO vuông cân tại O .
Khi đó: AO
2
SA
= = a .
Diện tích xung quanh của hình nón:
S OA SA = π. . = π. . 2 a a
2
= 2πa .
Chọn D
Câu 29: Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8cm , bán kính đáy bằng 6cm. Cắt hình
nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón
(N ) đỉnh S có đường sinh bằng 4cm. Khi đó thể tích của khối nón (N ) bằng
A. 768 3
cm
125
V = π . B. 786 3
cm
125
V = π .
C. 2304 3
cm
125
V = π . D. 2358 3
cm
125
V = π .
Lời giải
Trang 72/97
Đường sinh của hình nón lớn là
l SB =
2 2 = + h r 2 2 = + 8 6 =10cm .
Gọi 2
l , 2
r , 2
h lần lượt là đường sinh, bán kính
đáy và chiều cao của hình nón (N ).
2
l SK = = 4cm
Ta có: ∆SOB và ∆SIK đồng dạng nên:
4 2
10 5
SI IK SK
SO OB SB
= = = = .
2 2 2 4 2
10 5
h r l
h r l
= = = =
2
2
2 16
5 5
2 12
.
5 5
h h
r r
= =
= =
.
Thể tích khối nón (N )là
2
( ) 2 2
1
. . .
3
V r h N = π
2
1 12 16
. . .
3 5 5
= π
768 3
cm
125
= π .
Chọn A
(N)
M I K
O
A B
S
Câu 30: Cho một khối nón có bán kính đáy là 9cm , góc giữa đường sinh và mặt đáy là 30° . Khi
đó diện tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc
với nhau bằng
A. ( )
2
27 cm . B. ( )
2
162 cm . C. ( ) 27 2
cm
2
. D. ( )
2
54 cm .
Lời giải
Mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc là
SA và AM cắt khối nón theo thiết diện là tam
giác SAM .
Góc giữa đường sinh và mặt đáy là SAO = ° 30 .
Ta có
cos30
r
SM SA = =
°
9
6 3
3
2
= = .
Vì SA AM ⊥ nên tam giác SAM vuông tại S .
Do đó diện tích tam giác SAM là 1
.
2
S SA SM = =
( )
2
54 cm .
Chọn D
Trang 73/97
2.2. Bài tập trắc nghiệm về hình trụ, khối trụ
Câu 1: Thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AD
biết AB = 3 , AD = 4 là
A. 48π . B. 36π . C. 12π . D. 72π .
Lời giải
Ta có r = 3, h = 4 nên thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD quay quanh cạnh AD là 2 V r h = π
2
= π.3 .4 = 36π .
Chọn B
Câu 2: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r
được tính bằng công thức nào dưới đây?
A.
xq
S rl = π . B. 2
xq
S r l = π . C. 2 xq
S rl = π . D. 4 xq
S rl = π .
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là 2 xq
S rl = π
Chọn C
Câu 3: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Diện tích xung
quanh của hình trụ này bằng
A. ( )
2
24 cm π . B. ( )
2
22 cm π . C. ( )
2
26 cm π . D. ( )
2
20 cm π .
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh, ta có: ( )
2
S R l
xq = = = 2 . 2 .3.4 24 cm π π π
Chọn A
Câu 4: Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 và bán kính đáy bằng 3. Thể tích của khối trụ đã
cho bằng
A. 6π . B. 18π . C. 15π . D. 9π .
Lời giải
2 2 V R h = = = π π π .3 .2 18 .
Chọn B
Câu 5: Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao 20 m , chu vi đáy bằng 5 m
được kết quả nào dưới đây?
A. 2
50 m . B. 2
50 mπ . C. 2
100 mπ . D. 2
100 m .
Lời giải
Ta có chu vi đáy C R = = 2 5 π .
Diện tích xung quanh của hình trụ là 2
S Rl
xq = = = 2 5.20 100 m π .
Chọn D
Câu 6: Cho hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 . Diện tích toàn phần của hình trụ đã
cho bằng
A. ( )
2
2 3 1 πa − . B. 2
π a 3 .
C. ( )
2
π a 3 1+ . D. ( )
2
2 3 1 πa + .
Lời giải
Trang 74/97
Ta có diện tích toàn phần của hình trụ là:
2 tp xq đáy S S S = + 2
= + 2 2 π π Rh R 2 2 = + 2 3 2 π π a a ( )
2
= + 2 3 1 πa .
Chọn D
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D . ′ ′ ′ ′ có cạnh bằng 2a . Thể tích khối trụ ngoại tiếp
hình lập phương ABCD A B C D . ′ ′ ′ ′ bằng
A.
3
2
πa
. B. 3
8πa . C. 3
4π a . D. 3
2π a .
Lời giải
Hình trụ ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D . ′ ′ ′ ′ có chiều cao h a = 2 và bán kính
đáy 2
2
AC R a = = .
Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương là:
( )
2
2 3 V R h a a a = = = π π π 2 .2 4 .
Chọn C
Câu 8: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Một hình nón có đáy
trùng với một đáy của hình trụ và đỉnh trùng với tâm của đường tròn đáy thứ hai của
hình trụ. Độ dài đường sinh của hình nón là
A. a 5 . B. a . C. a . D. 3a .
Lời giải
Độ dài đường sinh của hình nón là
( )2 2
l O B a a = = + ′ 2 = a 5 .
Chọn A
Câu 9: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2
16π a và độ dài đường sinh bằng 2a . Tính
bán kính r của đường tròn đáy của hình trụ đã cho.
A. r a = 4 . B. r a = 6 . C. r = 4π . D. r a = 8 .
Lời giải
Theo giả thiết ta có
2
16 2 4
2 2 .2
xq
xq
S a
S rl r a
l a
= ⇔ = = =
π
π
π π
.
Chọn A
Câu 10: Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng 2
8πa và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường
sinh của hình trụ bằng
A. 4a . B. 8a . C. 2a . D. 6a .
Lời giải
Trang 75/97
Ta có: 2π xq
S Rl =
2
8π
4
2π 2π
xq
S a
l a
R a
= = = .
Chọn A
Câu 11: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2
2πa và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường
sinh của hình trụ đã cho bằng
A. 2a . B.
2
a
. C. a . D. 2a .
Lời giải
2π xq
S rl =
2π
xq
S
l
r
=
2
2π
2π
a
a
= = a .
Chọn C
Câu 12: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b . Tính thể tích của khối
cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
A. ( )3 1 2 2 4 3 .
18 3
a b + B. ( )3
2 2 4 3 .
18 3
a b +
π
C. ( )3
2 2 4 .
18 3
a b +
π
D. ( )3
2 2 4 3 .
18 2
a b +
π
Lời giải
Gọi I I, ′ lần lượt là tâm hai đáy, O là trung điểm
của II′ . Khi đó ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp
lăng trụ.
Ta có: 3
,
3 2
a b AI IO = = suy ra bán kính mặt
cầu ngoại tiếp lăng trụ là
2 2 1 2 2 4 3
3 4 2 3
a b R a b = + = +
Vậy ( ) ( )3
3 2 2
;
4
4 3 .
3 18 3
V R a b O R = = +
π
π
Chọn B
Câu 13: Cắt hình trụ (T ) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật
có diện tích bằng 2
20cm và chu vi bằng 18cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn
đường kính mặt đáy của hình trụ (T ) . Diện tích toàn phần của hình trụ là
A. ( )
2
30 cm π . B. ( )
2
28 cm π . C. ( )
2
24 cm π . D. ( )
2
26 cm π .
Lời giải
Trang 76/97
Gọi h và r là chiều cao và bán kính của hình trụ
h r > 2 . Ta có
2 20
2 9
rh
r h
=
+ =
5
2
h
r
= ⇔
=
.
2
2 2 tp S rh r = + π π = + 20 8 π π = 28π .
Chọn B
r
h
Câu 14: Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình
vuông có cạnh bằng 3a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A. 2
9a π . B.
2
9
2
πa
. C.
2
13
6
πa
. D.
2
27
2
πa
.
Lời giải
Do mặt phẳng cắt hình trụ đi qua trục của nó nên
ta có:
Đường sinh l a = 3 và bán kính đáy 3
2
a
r = .
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ:
( )
2
27 2
2
tp
a
S r r l = + =
π
π .
Do thiết diện qua trục là hình vuông nên B.
Ta có 2 tp xq d S S S = + 2
= + 2 .2 2 π π r r r ( ACD).
Chọn D
r
2r
Câu 15: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Cắt hình nón tròn xoay bằng một mặt phẳng đi qua trục thu được thiết diện là tam
giác cân.
B. Cắt hình trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục thu được thiết diện là
hình tròn.
C. Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng.
D. Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính
của nó.
Lời giải
Hình nón có các đường sinh bằng nhau nên khi cắt bằng một mặt phẳng đi qua trục thu
được thiết diện là tam giác cân. Vậy A đúng.
Mỗi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu, khối cầu đều là một mặt phẳng đói xứng của
mặt cầu, khối cầu đó. Vậy C đúng.
Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính của
nó. Vậy D đúng.
Trang 77/97
Vậy chọn B.
Câu 16: Một hình trụ có bán kính đáy là 2 cm( ). Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình
trụ theo thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ đó.
A. ( )
3
4 cm π . B. ( )
3
8 cm π .
C. ( )
3
16 cm π . D. ( )
3
32 cm π .
Lời giải
Giả sử ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ
(hình vẽ). Theo giả thiết ABCD là hình vuông
nên chiều cao của hình trụ
h OO r = = = ′ 2 4 cm( ) .
Vậy thể tích khối trụ
( )
2 2 3 V r h = = = π π π .2 .4 16 cm .
Chọn C
Câu 17: Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh 4a . Diện tích xung
quanh của hình trụ là:
A. 2
S a = 8π . B. 2
S a = 24π . C. 2
S a =16π . D. 2
S a = 4π .
Lời giải
Theo đề ta có
4
2 4
2
l a
h l r a
r a
=
= = = ⇔
=
.
Vậy diện tích xung quanh của trụ là
2
S rl a a a = = = 2 2 .2 .4 16 π π π .
Chọn C
r
l
Câu 18: Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng a . Tính
diện tích toàn phần S của hình trụ.
A. 2
S a = 4π . B.
2
2
a
S =
π
. C.
2
3
2
a
S =
π
. D. 2
S a = π .
Lời giải
Trang 78/97
* Theo hình vẽ, do ABCD là hình vuông cạnh a
nên ta có: h l OO AD a = = = = ′ ,
2 2
AB a r OA = = = .
* Diện tích toàn phần S của hình trụ là:
( )
2
3 3 2 2 .
2 2 2
a a a S r l r = + = =
π
π π .
Chọn C
O" C
A O B
D
Câu 19: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có
AB và CD thuộc hai đáy của hình trụ, AB a = 4 , AC a = 5 . Tính thể tích khối trụ.
A. 3 V a =16π . B. 3 V a =12π . C. 3 V a = 4π . D. 3 V a = 8π .
Lời giải
Ta có
+ Bán kính đường tròn đáy là: 2
2
AB
r a = = .
+ Chiều cao khối trụ:
2 2 h AD AC CD = = − ( ) ( ) 2 2
= − 5 4 a a = 3a .+
Thể tích khối trụ:
2 V r h = π. .
2
= π.(2 ) .3 a a
3
=12πa .
Chọn B
5a
4a
B
C
A
D
H
Câu 20: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , chu vi thiết diện qua trục bằng 10 . a Thể tích
của khối trụ đã cho bằng:
A. 3
πa . B. 3
5πa . C. 3
4π a . D. 3
3πa .
Lời giải
Gọi thiết diện qua trục là ABCD .
Theo đề ra
2 10 5 ( AB AD a AB AD a + =) ( + =) .
Bán kính đáy AO a AD a AB a = = 2 3 . =
Thể tích khối trụ là:
2 2 3 V Sh r h a a a = = = = π π π . . .3 3 .
Chọn D
D
C
A O
B
Câu 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi 1
S , 2
S lần lượt là diện tích toàn phần
của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính 1 2 S S S = + ( )
2
cm .
Trang 79/97
A. S = + 4 2400 ( π ). B. S = + 2400 4( π ).
C. S = + 2400 4 3 ( π ). D. S = + 4 2400 3 ( π ).
Lời giải
Ta có: 2
1
S = = 6.40 9600 .
Bán kính đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện của
hình lập phương là: r = 20 cm; hình trụ có đường
sinh h = 40 cm
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
2
2
S = + = 2. .20 2 .20.40 2400 π π π .
Vậy: ( ) 1 2 S S S = + = + = + 9600 2400 2400 4 π π .
Chọn B
O
C" D"
A B
B" A"
C
D
O"
Câu 22:Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có
AB và CD thuộc hai đáy của hình trụ, AB a = 4 , AC a = 5 . Tính thể tích khối trụ.
A. 3 V a =16π . B. 3 V a =12π . C. 3 V a = 4π . D. 3 V a = 8π .
Lời giải
Ta có
+ Bán kính đường tròn đáy là: 2
2
AB
r a = = .
+ Chiều cao khối trụ:
2 2 h AD AC CD = = − ( ) ( ) 2 2
= − 5 4 a a = 3a
+ Thể tích khối trụ:
2 V r h = π. .
2
= π.(2 ) .3 a a
3
=12πa .
Chọn B
5a
4a
B
C
A
D
H
Câu 23: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 . Cắt khối trụ
bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3. Tính diện tích
S của thiết diện được tạo thành.
A. S = 56. B. S = 28 . C. S = 7 34 . D. S =14 34 .
Lời giải
Trang 80/97
Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ và
I là trung điểm cạnh AB .
Ta có:
Tam giác OAI vuông tại I có: OI = 3;
OA = 5 IA = 4 AB IA = = 2. 8.
Khi đó .
ABCD S AB AD = , với AD OO = =′ 7
56 ABCD S = .
Chọn A
Câu 24: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a . Mặt phẳng (P) song song
với trục và cách trục một khoảng
2
a
. Khi đó diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt
phẳng (P) bằng
A. 2
2 3a . B. 2
a . C. 2
4a . D. 2
π a .
Lời giải
h OO a = =′ 2 ,
2
AB
r a = = .
2
2
2 3
4
a
MN a a = − = , NP a = 2 .
Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt
phẳng (P)là 2
S a a a = = 3.2 2 3 .
Chọn A
Câu 25: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π , thiết diện qua trục là hình vuông. Một
mặt phẳng (α ) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB A′ ′ , biết
một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một
cung 120° . Diện tích thiết diện ABB A′ ′ bằng
A. 3 2 . B. 3 . C. 2 3 . D. 2 2 .
Lời giải
Gọi R, h , l lần lượt là bán kính, chiều cao,
đường sinh của hình trụ.
Ta có 4 xq
S = π ⇔ = 2 . . 4 π π R l ⇔ = R l. 2.
Giả sử AB là một dây cung của đường tròn đáy
của hình trụ và căng một cung 120° .
Ta có ABB A′ ′ là hình chữ nhật có AA h l ′ = = .
Xét tam giác OAB cân tại O , OA OB R = = ,
AOB = ° 120 AB R = 3 .
Trang 81/97
.
ABB A S AB AA ′ ′ = ′ = R l 3. = R l. 3 = 2 3 .
Chọn C
Câu 26: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm và khoảng cách giữa hai đáy là 7cm. Cắt khối
trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm . Diện tích S của thiết diện
được tạo thành bằng
A. 2
55cm . B. 2
56cm . C. 2
53cm . D. 2
46cm .
Lời giải
Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABCD ,
H là trung điểm CD .
Ta có:
( )
OH CD
OH ABCD
OH BC
⊥
⊥
⊥
d OO ABCD d O ABCD OH cm ( ′;( ) ;( ) 3 ) = = = ( ) .
2 2 2 2 HC HD OC OH = = − = − = 5 3 4cm .
AB CD = = 8cm .
2 S AB BC ABCD = = = . 8.7 56cm .
Chọn B
5cm
7cm
H
C
D
O"
O
A
B
Câu 27: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết
diện có diện tích bằng 2
8a . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
A. 2
4π a . B. 2
8πa . C. 2
16π a . D. 2
2π a .
Lời giải
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật,
có độ dài một cạnh là 2a , có diện tích là 2
8a , suy
ra chiều cao của hình trụ là
2
8
4
2
a
h a
a
= = .
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
2 xq
S rh = π = 2. . .4 π a a
2
= 8πa .
Chọn B
Câu 28: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình
vuông có cạnh bằng 3a . Diện tích toàn phần tp S của khối trụ bằng
A.
2
27
2
tp
a
S =
π
. B.
2
13
6
tp
a
S =
π
.
Trang 82/97
C. 2
3 tp S a = π . D.
2
3
2
tp
a
S =
π
.
Lời giải
Theo đề bài ta có ABCD là hình vuông cạnh 3a
nên ta có 3
2
a
r = và h a = 3 .
Diện tích toàn phần của hình trụ là
2
2 2 tp S r rh = + π π
2
3 3 2 2 3
2 2
a a
a
= + π π
2
27
2
a
=
π
.
Chọn A
B
A
C
O"
O
D
Câu 29: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết BD a = 2 ,
60 DAC °
= . Thể tích khối trụ bằng
A. 3 6 3
16
πa . B. 3 2 3
16
πa . C. 3 2 3
32
πa . D. 3 2 3
48
πa .
Lời giải
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác
ADC vuông tại D và BD AC a = = 2 .
Xét tam giác vuông ADC có
⇔ = DC AC DAC sin ⇔ = ° DC a 2.sin 60
6
2
a
⇔ = DC
Suy ra bán kính mặt đáy của hình trụ là 6
4
a
r = .
cos AD DAC
AC
= ⇔ = AD AC DAC cos
⇔ = ° AD a 2 cos60 2
2
a
⇔ = AD
Chiều cao của hình trụ là 2
2
a
h = .
Thể tích khối trụ là
2
6 2
4 2
a a V
=
π
3
3 2
16
a
= .
Chọn B
600
D
C
B
A
Trang 83/97
Câu 30: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD
có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết AC a = 2 , DCA = ° 30 .
Thể tích khối trụ bằng
A. 3 2 3
16
πa . B. 3 6 3
16
πa . C. 3 6 3
16
a . D. 3 2 3
48
πa .
Lời giải
Tam giác ADC vuông tại D có:
DC AC = ° .cos30 6
2
a
⇔ = DC .
AD AC = ° .sin 30 2
2
a
⇔ = AD .
Khi đó hình trụ đã cho có h AD = ,
1
2
r DC = .
Vậy thể tích khối trụ
2 3 3 2
16
V r h a = = π π .
Chọn A
2.3. Bài tập trắc nghiệm về mặt cầu, khối cầu
Câu 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua hai điểm A và B là
A. Mặt phẳng song song với đường thẳng AB .
B. Trung điểm của đường thẳng AB .
C. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
D. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
Lời giải
Chọn D
Gọi I là tâm của mặt cầu khi đó IA IB = suy ra I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB .
Câu 2. Cho khối cầu có bán kính R. Thể tích của khối cầu đó là
A. 3 V R = 4π B. 4 3
3
V R = π . C. 1 3
3
V R = π . D. 4 2
3
V R = π .
Lời giải
Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R là 4 3
3
V R = π .
Chọn B
Trang 84/97
Câu 3. Cho hình cầu đường kính 2 3 a . Mặt phẳng (P) cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn
có bán kính bằng a 2 . Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng (P) bằng
A. a . B.
2
a
. C. a 10 . D. 10
2
a
.
Lời giải
Bán kính hình cầu đã cho là
R a = 3 .
Khoảng cách từ tâm hình cầu đến
mặt phẳng (P) là
( ) ( ) 2 2
d a a a = − = 3 2 .
Chọn A
P
R
A
I
H
Câu 4. Cho mặt cầu có diện tích bằng
2
8
3
πa
. Bán kính mặt cầu bằng
A. 6
3
a
. B. 3
3
a
. C. 6
2
a
. D. 2
3
a
.
Lời giải
Diện tích mặt cầu 2
4 C
S R = π ⇔
2
2 8
4
3
a
R =
π
π ⇔
6
3
a
R = .
Chọn A
Câu 5: Cho mặt cầu có diện tích bằng ( )
2
72 cm π . Bán kính R của hình cầu bằng
A. R = 6 cm( ). B. R = 6 cm( ).
C. R = 3 cm( ) . D. R = 3 2 cm( ).
Lời giải
* Ta có diện tích của mặt cầu
2 2 S R R R = = ⇔ = 4 72 18 3 2 π π = .
Chọn D
Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thoi thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình tứ giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình tam giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải:
Chọn D
Trang 85/97
Điều kiện để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đa giác đáy là đa giác nội tiếp
đường tròn. Do đó: Đáy là tam giác thì luôn có tâm đường tròn ngoại tiếp.
Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy là r . Gọi O , O′ là tâm của hai đáy với OO r ′ = 2 . Mặt cầu
(S ) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O′ . Phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
B. Diện tích mặt cầu bằng
2
3
diện tích toàn phần hình trụ.
C. Thể tích khối cầu bằng
2
3
thể tích khối trụ.
D. Thể tích khối cầu băng
3
4
thể tích khối trụ.
Lời giải
Mặt cầu (S ) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O′ nên bán kính mặt cầu cũng
là r .
4 3
3
V r c = π ,
3
2 V r t = π . Do đó 2
3
V V c t = Khẳng định C .
Chọn C
Câu 8. Cho mặt cầu có diện tích mặt ngoài bằng 36π . Thể tích của khối cầu tương ứng bằng
A. 9π . B. 36π . C.
9
π
. D.
3
π
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
• 2
4 36 C
S R = = π π
2 R R = 9 3 = .
4 4 3 3 .3 36
3 3
V R C = = = π π π .
Câu 9. Chỉ ra khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. Khối lăng trụ có đáy có diện tích đáy là B, đường cao của lăng trụ là h , khi đó thể
tích khối lăng trụ là V Bh = .
B. Diện tích xung quanh của mặt nón có bán kính đường tròn đáy r và đường sinh l là
S rl = π .
C. Mặt cầu có bán kính là R thì thể tích khối cầu là 3 V R = 4π .
D. Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đường tròn đáy r và chiều cao của trụ
l là 2 ( ) tp S r l r = + π .
Lời giải
Trang 86/97
Mặt cầu có bán kính là R thì thể tích khối cầu là 4 3
3
V R = π .
Chọn C
Câu 10. Một khối cầu có thể tích bằng
32
3
π
. Bán kính R của khối cầu đó là
A. R = 2 . B. R = 32 . C. R = 4 . D. 2 2
3
R = .
Lời giải
Ta có thể tích khối cầu có bán kính R là 4 32 3
3 3
V R = =
π
π ⇔ = R 2 .
Chọn A
Câu 11. Cho hình lập phương ABCD A B C D . ′ ′ ′ ′ cạnh bằng 3a . Quay đường tròn ngoại tiếp tam
giác A BD′ quanh một đường kính của đường tròn ta có một mặt cầu, Diện tích mặt cầu
đó bằng
A. 2
27π a . B. 2
24πa . C. 2
25πa . D. 2
21π a .
Lời giải
Tam giác A BD′ là tam giác đều, cạnh bằng
3 2 a .
Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác A BD′
quanh một đường kính của đường tròn, ta được
mặt cầu có bán kính bằng:
3
.3 2 6
3
a a = .
Diện tích mặt cầu được tạo ra:
2 2 2 S R a a = = = 4 4 .6 24 π π π .
Chọn B
B" C"
D"
C
A D
B
A"
Câu 12. Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, SA a = ,
AD a AB a = = 5 , 2 . Điểm E thuộc cạnh BC sao cho CE a = . Bán kính mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện SAED bằng
A. 26
4
a
. B. 26
3
a
. C. 26
2
a
. D. 2 26
3
a
.
Lời giải
Trang 87/97
Ta có
( )
2 2 2 2 2 2 AE AB BE a a a = + = + = 4 4 20 ,
2 2 2 2 2 2 DE DC CE a a a = + = + = 4 5 .
Do đó 2 2 2 2 AE DE AD a + = = 25 , suy ra tam giác
AED suy ra tam giác AED vuông ở E. Suy ra
ED SAE ED SE ⊥ ( ) ⊥ . Vậy Avà E đều nhìn
SD dưới một góc vuông. Do đó mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện SAED có bán kính là
1 26 2 2
.
2 2 2
SD a R SA AD = = + =
Chọn C
Câu 13. Cho mặt cầu ( ) 1
S có bán kính R1
, mặt cầu ( ) 2
S có bán kính 2 1 R R = 2 .Tỉ số diện tích của
mặt cầu ( ) 2
S và ( ) 1
S bằng
A. 2 . B. 4 . C.
1
2
. D. 3.
Lời giải
Chọn B
1
2
1
4 S
S R = π ;
2 2 1
2 2 4 16 S
S R R = = π π .
Vậy 2
1
4
S
S
S
S
= .
Câu 14. Cho hình chóp S ABC . có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng
( ABC). SA = 5, AB = 3 , BC = 4 . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC . bằng
A. 5 2
.
2
R = B. 5 2
.
3
R = C. 5 3
.
3
R = D. 5 3
.
2
R =
Lời giải
Ta có BC SA ⊥ và BC AB ⊥ nên
BC SAB BC SB ⊥ ( ) ⊥ . Vậy hai điểm A B, cùng nhìn
cạnh SC dưới một góc vuông. Điều đó chứng tỏ SC là
đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . Do
đó bán kính
1 1 1 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 4 .
2 2 2 2 2
SC R SA AC SA AB BC = = + = + + = + + =
Chọn C
Câu 15. Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2 . Bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình nón đó là
Trang 88/97
A. 3 3
2
R = . B. 2 3
3
R = . C. 3
3
R = . D. R = 2 3 .
Lời giải
Trong đó H là tâm đường tròn đáy (C) suy ra
SH C ⊥ ( ), và HA =1.
Điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón (N ).
Trong tam giác vuông IHA ta có 2
IH R = −1 .
Khi đó:
2
2 2
3 0
1 3
1 2 3 3
R
SH SI IH R R
R R R
− >
= + = + − = ⇔
− = − +
2 3
3
⇔ = R
Chọn B
Câu 16: Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình thang vuông tại A, B. Biết SA ABCD ⊥ ( ),
AB BC a = = , AD a = 2 , SA a = 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Bán kính mặt cầu đi qua các
điểm S , A, B, C , E bằng
A. 30
6
a
. B. 6
3
a
. C. 3
2
a
. D. a .
Lời giải
* Do SA ABCD ⊥ ( ) SA AC ⊥ SAC = ° 90 .
* Do BC SAB ⊥ ( ) BC SC ⊥ SBC = ° 90 .
* Do
CE AB CE SAD // ⊥ ( ) CE SE ⊥
SEC = ° 90 .
Suy ra các điểm A, B, E cùng nhìn đoạn SC
dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua các điểm
S , A, B, C , E là mặt cầu đường kính SC .
Bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A, B, C ,
E là:
2
SC R = .
Xét tam giác SAC vuông tại A ta có:
AC AB a = = 2 2 SC AC a = = 2 2
2
SC
R a = = .
Chọn D
A E
D
B C
S
Trang 89/97
Câu 17. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có các kích thước a , 2a , 3a .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a R = 2 3 . B. 3
3
R
a = . C. a R = 2 . D. 14
7
R
a = .
Lời giải
Gọi hình hộp chữ nhật đã cho là ABCD EFGH . .
Mặt cầu bán kính ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD EFGH . nhận đường chéo BH là đường
kính.
Do đó bán kính
1 14 2 2 2 4 9
2 2 2
BH a R a a a = = + + =
2 14
14 7
R R
a = = .
Chọn D
Câu 18. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng
2a , cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S ABCD . bằng
A. 6
2
a
. B. 2 6
3
a
. C. 6
12
a
. D. 6
4
a
.
Lời giải
Ta có SA ABCD ⊥ ( ) nên SA AC ⊥ hay ∆SAC
vuông tại A và SA BC ⊥ , SA CD ⊥ .
+ BC AB ⊥ nên BC SB ⊥ hay ∆SBC vuông tại
B;
+ CD AD ⊥ nên CD SD ⊥ hay ∆SCD vuông tại
D ;
Khi đó ∆SAC , ∆SBC , ∆SCD cùng nhìn cạnh
huyền SC dưới một góc vuông nên các đỉnh S ,
A, B, C , D cùng nằm trên mặt cầu đường kính
SC .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD .
là:
1
2
R SC =
1 2 2
2
= + SA AC 1 2 2 4 2
2
= + a a
6
2
a
= .
Chọn A
Trang 90/97
Câu 19: Cho mặt cầu (S ) tâm I . Một mặt phẳng (P) cách I một khoảng bằng 3 cm( ) cắt mặt
cầu (S ) theo một đường tròn đi qua ba điểm A, B, C biết AB = 6 cm( ) , BC = 8 cm( ) ,
CA =10 cm( ) . Diện tích của mặt cầu (S ) bằng
A. 2
68 cm π . B. 2
20 cm π . C. 2
136 cm π . D. 2
300 cm π .
Lời giải
Gọi S là diện tích tam giác ABC và R bán kính đường tròn đi qua ba điểm A, B, C .
S = − − − = 12 12 6 12 8 12 10 24 ( )( )( )
6.8.10 5
4.24
R = =
Khi đó bán kính mặt cầu
2 2
r = + = 5 3 34
Diện tích của mặt cầu (S ) bằng ( )
2
2 2
S r = = = 4 4. . 34 136 cm π π π .
Chọn C
Câu 20: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C . ′ ′ ′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao
bằng 2a . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C . ′ ′ ′ bằng
A.
3
32 3
27
a
V =
π
. B.
3
32 3
9
a
V =
π
.
C.
3
8 3
27
a
V =
π
. D.
3
32 3
81
a
V =
π
.
Lời giải
Dựng trục OO′ của hai đáy và gọi I là trung điểm
của OO′. Khi đó I là tâm của mặt cầu và bán
kính mặt cầu R IA = ′ .
Trong tam giác vuông IO A′ ′ ta có
2 2 R O A O I = + ′ ′ ′ với 3
3
a
O A′ ′ = và O I a ′ = 2
ta có 2 3
3
a
R = . Thể tích khối cầu
4 3
3
V R = π
3
32 3
27
a
V =
π
.
Chọn B
I
O
O"
C
B
A"
B"
C"
A
Trang 91/97
Câu 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
đó bằng
A. 6π . B. 4 3π . C. 8π . D. 12π .
Hướng dẫn giải
2
I
C" B"
D"
D
A
B C
A"
Ta có:
Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng
2
B D R
′
=
2 3
2
= = 3 .
Diện tích mặt cầu là: 2
S R = 4π ( )
2
= 4π 3 = 12π .
Chọn D
Câu 22: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng BC và vuông
góc với mặt phẳng ( ABC). Trong (P), xét đường tròn (C) đường kính BC . Bán kính
của mặt cầu chứa đường tròn (C) và đi qua điểm A bằng
A. a 3 . B. 3
2
a
. C. 3
3
a
. D. 3
4
a
.
Lời giải
Gọi (S ) là mặt cầu chứa đường tròn (C) và đi qua điểm A; H là đường cao tam giác
đều ABC ; I là trọng tâm của tam giác ABC thì I cũng là tâm của mặt cấu (S ) .
Ta có 1 3
3 6
a
IH AH = = , bán kính của đường tròn (C) là
2 2
BC a R = =
Trang 92/97
Bán kính của mặt cầu (S ) là 2 2 3
3
a
r IB BH IH = = + = .
Chọn C
Câu 23: Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa đường chéo của mặt bên
và đáy của lăng trụ là 60° . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bằng
A. 13 2
π
3
a . B. 5 2
π
3
a . C. 13 2
π
9
a . D. 5 2
π
9
a .
Lời giải
Gọi H là tâm ∆ABC thì 3
3
a
AH = .
Ta có ( A B ABC ,( )) ′ = ( A B AB , ) ′ = A BA ′ = ° 60 AA AB ′ = ° .tan 60 = a 3 .
Gọi M là trung điểm AA′ thì 3
2
a
AM = . Mặt phẳng trung trực của đoạn AA′ cắt trục
của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Ta có 2 2 2 2 R IA IM AM = = + 2 2 = + AH AM
2 2 3
4 3
a a
= +
2
13
12
a
= .
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
2
S R = 4π
2
13 13 2
4π π
12 3
a
= = a .
Chọn A
Câu 24: Cho hình chóp tam giác đều S ABC . có đáy bằng 3a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 45° . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . bằng
A.
3
4 2
3
πa
. B. 3
4 2 π a . C.
3
4 3
3
πa
. D. 3
4 3 πa .
Lời giải
Trang 93/97
Ta có: 2 3 3 . 3
3 2
a
AH a = = ; ∆SAH vuông cân SH AH a = = 3 .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S ABC . là:
2
2
SA R
SH
=
2
6
2 3
a
a
= = a 3 .
Vậy
4 3
3
V R = π ( ) 4 3
3
3
= π a
3
= 4 3 πa .
Chọn D
Câu 25: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC), tam giác ABC vuông
cân tại A, AD a = 2 , AB a = . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
A. 6
3
a
. B. 6
2
a
. C. 6
4
a
. D. 2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC :
2
2 2
BC a
r = = .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD :
2
2
2
AD R r
= +
2
2 6
2 2
a a
= + = a .
Chọn B
Câu 26: Cho khối chóp S ABC . có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) và SA a = . Đáy ABC
nội tiếp trong đường tròn tâm I có bán kính bằng 2a (tham khảo hình vẽ). Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC . .
Trang 94/97
A. 5
2
a
. B. 17
2
a
. C. a 5 . D. 5
3
a
.
Lời giải
Gọi ∆ là đường thẳng qua I và ∆ ⊥ ( ABC).
Gọi M là trung điểm của SA, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng SA cắt ∆ tại O .
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . , bán kính R OA = .
2 2 OA AI OI = +
2
2
4
4
a
= + a
17
2
a
= .
Chọn B
Câu 27: Cho hình chóp đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a 2 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng o
45 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
A.
2
4π
3
a
. B.
2
16π
3
a
. C. 2
6πa . D. 2
4πa .
Lời giải
S
A
a
B
I C
Trang 95/97
Gọi O là tâm hình vuông ABCD .
Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc o
SAO = 45 SO OA =
2
2 2
AC AB
= = = a .
OA OB OC OD OS = = = = nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD . .
R OA a = = . Vậy 2
S R = 4π
2
= 4πa .
Chọn D
Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C . ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết
AB AA a = =′ , AC a = 2 . Gọi M là trung điểm của AC . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện MA B C ′ ′ ′ bằng
A. 2
4π a . B. 2
2π a . C. 2
5π a . D. 2
3π a .
Lời giải
Chọn C
I
M"
M
B C
A
A"
B" C"
Gọi I là trung điểm của cạnh B C′ ′ . Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆A B C ′ ′ ′.
Gọi M′ là trung điểm của cạnh A C′ ′ . Khi đó MM A B C ′ ′ ′ ′ ⊥ ( ) .
Do MA MC a ′ ′ = = 2 nên ∆MA C′ ′ vuông tại M . Do đó M′ là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆MA C′ ′.
Trang 96/97
Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C ′ ′ ′. Bán kính mặt cầu là
5
2 2
BC a r IB = = = ′ .
Do đó diện tích mặt cầu là 2 2 S r a = = 4 5 π π .
Câu 29: Cho hình chóp S ABC . có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a = 2 , BC a = ,
SC a = 2 và SCA = ° 30 . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC . bằng
A. R a = 3 . B. 2. C. R a = . D.
2
a
R = . d
Lời giải
2a
a
30°
a 2
I
A H
C
B
S
Ta có:
• AC SC = ° .cos30 = a 3 .
•
2 2 2 2 AB BC a a + = + 2
2
= 3a
2
= AC 2 ∆ABC là tam giác vuông ở B .
Gọi H , I lần lượt là trung điểm của AC , SC . Khi đó ta có:
• H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
• IH ABC ⊥ ( ).
Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp −2 . Suy ra 1
2
R SC = = a .
Vậy R a = .
Chọn C
Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C . ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết
AB AA a = =′ , AC a = 2 . Gọi M là trung điểm của AC . Thể tích khối cầu ngoại tiếp
tứ diện MA B C ′ ′ ′ bằng
A.
3
5 5
6
πa
. B.
3
2
3
π a
. C.
3
4
3
πa
. D.
3
3
3
πa
.
Trang 97/97
Lời giải
I
M"
M
B C
A
A"
B" C"
Gọi I là trung điểm của cạnh B C′ ′ . Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆A B C ′ ′ ′.
Gọi M′ là trung điểm của cạnh A C′ ′ . Khi đó MM A B C ′ ′ ′ ′ ⊥ ( ) .
Do MA MC a ′ ′ = = 2 nên ∆MA C′ ′ vuông tại M . Do đó M′ là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆MA C′ ′.
Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C ′ ′ ′. Bán kính mặt cầu là
r IB = =′
5
2 2
BC a
= . Do đó thể tích khối cầu là
3
4 5 5 3
3 6
a
V r = =
π
π .
Chọn A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
